Question

【題目】已知：如圖，在矩形ABCD中，AC是對角線．點P為矩形外一點且滿足AP=PC，AP⊥PC．PC交AD于點N，連接DP，過點P作PM⊥PD交AD于M．

（1）若AP=，AB=BC，求矩形ABCD的面積；

（2）若CD=PM，求證：AC=AP+PN．

Answer 1

【答案】（1）3（2）AC=AP+PN

【解析】（1）∵AP⊥CP且AP＝CP

∴△APC為等腰直角三角形

∵AP＝

∴AC＝.................1分

∵AB＝BC

∴設AB＝x，BC＝3x

∴在Rt△ABC中

x2+(3x)2=10

10x2=10

x=1.................3分

∴.................4分

（2）延長AP，CD交于Q

∵∠1+∠CND=∠2+∠PNA=900

且∠CND=∠ANP

∴∠1=∠2

又∠3+∠5=∠4+∠5=900

∴∠3=∠4

又∵AP＝CP

∴△APM≌△CPD

∴DP＝PM

又∵CD＝PM

∴CD＝PD

∴∠1＝∠3

∠1+∠Q＝∠3+∠6＝90°

∵∠1＝∠3

∴∠Q=∠6

∴DQ=DP=CD

∴D為CQ中點

又∵AD⊥CQ

∴AC＝AQ＝AP+PQ

又∵∠1＝∠2

∠APN＝∠CPQ＝900

AP=CP ∴△APN≌△CPQ

∴PQ＝PN

∴AC＝AP+PQ＝AP+PN.................10分

（1）由已知條件知△APC為等腰直角三角形，即可求得AC的長，再利用勾股定理求得AB，BC的長，從而求得矩形ABCD的面積

（2）延長AP，CD交于Q,通過角之間的等量關系，求得△APN≌△CPQ，得出PQ＝PN，從而求得結論