Question

二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）圖象如圖，下列結(jié)論：①a+b=0；②a-b+c＞0；③當m≠1時，a+b＞am²+bm；④3a+c＞0；⑤若ax₁²+bx₁=ax₂²+bx₂，且x₁≠x₂，x₁+x₂=2．其中正確的有

 

．

Answer 1

考點：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系

專題：數(shù)形結(jié)合

分析：由拋物線的對稱軸為直線x=-

b

2a

=1得到2a+b=0，則可對①進行判斷；利用拋物線的對稱性得到拋物線與x軸的另一個交點在點（0，0）和（-1，0）之間，則x=-1時，y＜0，即a-b+c＜0，可對②進行判斷；根據(jù)二次函數(shù)的最大值對③進行判斷；利用a-b+c＜0，b=-2a得到3a+c＜0，可對④進行判斷；把ax₁²+bx₁=ax₂²+bx₂移項后分解因式得到（x₁-x₂）[a（x₁+x₂）+b]=0，則a（x₁+x₂）+b=0，可計算出x₁+x₂=2，于是可對⑤進行判斷．

解答：解：∵拋物線的對稱軸為直線x=-

b

2a

=1，
∴2a+b=0，所以①錯誤；
∵拋物線與x軸的一個交點在點（2，0）和（3，0）之間，
而對稱軸為直線x=1，
∴拋物線與x軸的另一個交點在點（0，0）和（-1，0）之間，
∴x=-1時，y＜0，即a-b+c＜0，所以②錯誤；
∵x=1時，y有最大值，
∴a+b+c＞am²+bm+c（m≠1），
即a+b＞am²+bm（m≠1），所以③正確；
∵a-b+c＜0，b=-2a，
∴a+2a+c＜0，即3a+c＜0，所以④錯誤；
∵ax₁²+bx₁=ax₂²+bx₂，
∴ax₁²-ax₂²+bx₁-bx₂=0，（x₁-x₂）[a（x₁+x₂）+b]=0，
而x₁≠x₂，
∴a（x₁+x₂）+b=0，
∴x₁+x₂=-

b

a

=-

-2a

a

=2，所以⑤正確．
故答案為③⑤．

點評：本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0），二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小，當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口；一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置，當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左； 當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右；常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點． 拋物線與y軸交于（0，c）；拋物線與x軸交點個數(shù)由△決定，△=b²-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b²-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b²-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．