Question

如圖，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，上底AD為

3

，以對(duì)角線BD為直徑的⊙O與CD切于點(diǎn)D，與BC交于點(diǎn)E，且∠ABD為30°．則圖中陰影部分的面積為

 

（不取近似值）．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),直角梯形,扇形面積的計(jì)算

專題：幾何圖形問題

分析：連接OE，根據(jù)∠ABC=90°，AD=

3

，∠ABD為30°，可得出AB與BD，可證明△OBE為等邊三角形，即可得出∠C=30°．陰影部分的面積為直角梯形ABCD的面積-三角形ABD的面積-三角形OBE的面積-扇形ODE的面積．

解答：解：連接OE，過點(diǎn)O作OF⊥BE于點(diǎn)F．

∵∠ABC=90°，AD=

3

，∠ABD為30°，
∴BD=2

3

，
∴AB=3，
∵OB=OE，∠DBC=60°，OF⊥BE，
∴OF=

3

2

，
∵CD為⊙O的切線，
∴∠BDC=90°，
∴∠C=30°，
∴BC=4

3

，
S_陰影=S_梯形ABCD-S_△ABD-S_△OBE-S_扇形ODE
=

(AD+BC)×AB

2

-

AD•AB

2

-

BE•OF

2

-

120×π×( 3 )2

360

=

( 3 +4 3 )×3

2

-

3 3

2

-

3 2 3

2

-π
=

21 3

4

-π．
故答案為：

21 3

4

-π．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)、直角梯形以及扇形面積的計(jì)算，要熟悉扇形的面積公式．