Question

5．【回歸課本】我們曾學習過這樣的基本事實：①線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等；②同弧所對的圓周角相等．
【初步體驗】如圖，已知△ABC，用沒有刻度的直尺和圓規(guī)作圖，不要求寫作法，但要保留作圖痕跡，并對作圖中涉及到的點用字母進行標注．
（1）在圖①中AC邊上找點D，使DB+DC=AC；
（2）在圖②中作△BCE，使∠BCE=∠BAC，CE=BE．
【深入探究】小明運用上述基本事實解決了下面一個問題：
（3）如圖③，已知線段a和等邊△ABC，作△BCM，使∠BMC=∠BAC，BM+CM=a．
他的做法是：
1畫△ABC的外接圓；
2以A為圓心、AB長為半徑畫⊙A；
3以C為圓心、a為半徑畫弧與⊙A交于點F；
4連接CF與△ABC的外接圓交于點M，則△BCM是要畫的三角形．
請你給出證明，并直接寫出這樣的點M有個．
（4）請你仿照小明的做法解決下面的問題：
如圖④，已知線段b和△ABC，作△BCN，使∠BNC=∠BAC，BN-CN=b．

Answer 1

分析 （1）作線段AB的垂直平分線即可；
（2）作△ABC的外接圓，線段BC的垂直平分線交△ABC的外接圓于E，連接EC、EB即可；
（3）只要證明△M₁BF是等腰三角形即可，這樣的點有8個．
（4）①畫△ABC的外接圓；②作∠ABC，∠ACB的外角平分線交于點G，畫△GBC的外接圓；③以B為圓心，b為半徑畫弧交△GBC的外接圓于點H；④連接BH并且延長與△ABC的外接圓交于點N．則△BCN即為所求．

解答 解：（1）如圖①中，

 點D如圖所示．
（2）如圖②中，

圖中△BCE即為所求．

（3）如圖③中

證明：連接BF．
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC=60°，
∴∠BM₁C=∠BAC=60°，∠CFB=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°，
∵∠BM₁C=∠M₁BF+∠CFB，
∴∠CFB=∠M₁BF=30°，
∴FM₁=M₁B，
∴CF=CM₁+BM₁=a．
這樣的點M能找到8個．（圖中M₁、M₂、M₃、M₄，以及它們關于BC的對稱點）

（4）如圖④中，

步驟：①畫△ABC的外接圓；
②作∠ABC，∠ACB的外角平分線交于點G，畫△GBC的外接圓；
③以B為圓心，b為半徑畫弧交△GBC的外接圓于點H；
④連接BH并且延長與△ABC的外接圓交于點N．
則△BCN即為所求．

點評 本題考查圓的綜合題、復雜作圖、等腰三角形的判定和性質、圓周角定理、等邊三角形的性質、角平分線定義等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考壓軸題．