Question

4．如圖，已知圓O的面積為3π，AB為圓O的直徑，∠AOC=80°，∠BOD=20°，點(diǎn)P為直徑AB上任意一點(diǎn)，則PC+PD的最小值是3．

Answer 1

分析 先設(shè)圓O的半徑為r，由圓O的面積為3π求出r的值，再作點(diǎn)C關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)C′，連接OC′，DC′，則DC′的長(zhǎng)即為PC+PD的最小值，由軸對(duì)稱的性質(zhì)得出∠AOC′的度數(shù)，故可得出∠BOC′的度數(shù)，再由銳角三角函數(shù)的定義即可得出DC′的長(zhǎng)．

解答 解：設(shè)圓O的半徑為r，
∵⊙O的面積為3π，
∴3π=πr²，即r=$\sqrt{3}$．
作點(diǎn)C關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)C′，連接OC′，DC′，則DC′的長(zhǎng)即為PC+PD的最小值，
∵∠AOC=80°，
∴∠AOC=∠AOC′=80°，
∴∠BOC′=100°，
∵∠BOD=20°，
∴∠DOC′=∠BOC′+∠BOD=100°+20°=120°，
∵OC′=OD，
∴∠ODC′=30°
∴DC′=2OD•cos30°=2$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3，即PC+PD的最小值為3．
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是圓周角定理及軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題，根據(jù)題意作出點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)是解答此題的關(guān)鍵．