Question

如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜邊BC上的高，∠ABD的平分線交AD于點(diǎn)E，∠CAD的平分線交CD于點(diǎn)F，連接EF．求證：EF∥AC．

Answer 1

考點(diǎn)：平行線分線段成比例

專題：證明題

分析：根據(jù)角平分線定理得到

AE

DE

=

BA

BD

和

CF

DF

=

AC

AD

，再證明Rt△ABD∽R(shí)t△CAD得到

BA

AC

=

BD

AD

，利用比例性質(zhì)得

BA

BD

=

AC

AD

，則

AE

DE

=

CF

DF

，然后根據(jù)平行線分線段成比例定理的逆定理可得EF∥AC．

解答：解：∵∠ABD的平分線交AD于點(diǎn)E，
∴

AE

DE

=

BA

BD

，
∵∠CAD的平分線交CD于點(diǎn)F，
∴

CF

DF

=

AC

AD

，
∵AD是斜邊BC上的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴∠ABD+∠BAD=90°，
而∠BAD+∠CAD=90°，
∴∠ABD=∠CAD，
∴Rt△ABD∽R(shí)t△CAD，
∴

BA

AC

=

BD

AD

，
∴

BA

BD

=

AC

AD

，
∴

AE

DE

=

CF

DF

，
∴EF∥AC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行線分線段成比例：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．也考查了角平分線定理和相似三角形的判定與性質(zhì)．