Question

已知：如圖，直角坐標(biāo)系內(nèi)的矩形ABCD，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，3)BC＝2AB，P為AD邊上一動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)A、D不重合)，以點(diǎn)P為圓心作⊙P與對(duì)角線AC相切于點(diǎn)F，過P、F作直線l，交BC邊于點(diǎn)E．當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P₁位置時(shí)，直線l恰好經(jīng)過點(diǎn)B此時(shí)直線的解析式是y＝2x＋1．

(1)求BC、AP₁的長(zhǎng)；

(2)設(shè)AP＝m，梯形PECD的面積為S，求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式，寫出自變量m的取值范圍；

(3)以點(diǎn)E為圓心作⊙E與x軸相切．

①探究并猜想：⊙P和⊙E有哪幾種不同的位置關(guān)系？并求出AP相應(yīng)的取值范圍；

②當(dāng)直線l把矩形ABCD分成兩部分的面積之比為3∶5時(shí)，則⊙P和⊙E的位置關(guān)系如何？并請(qǐng)說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵A(0，3)，∴OA＝3．∵直線l1的解析式是y＝2x＋1，∴B(0，1)，OB＝1，AB＝OA－OB＝2．∵BC＝2AB，∴BC＝4．∵點(diǎn)P是AD上一動(dòng)點(diǎn)，且A(0，3)，∴P1點(diǎn)縱坐標(biāo)是3．∵點(diǎn)P1在直線y＝2x＋l上，∴P1(1，3)，AP1＝1; 　　(2)∵AP＝m，AD＝4，∴PD＝4－m，P1P＝m－1．∵⊙P與對(duì)角線AC相切于點(diǎn)F，∴∠AF1P1＝∠AFP＝，∴P1B∥PE，∵AD∥BC，∴BE＝P1P＝m－1，EC＝5m，∴S＝(PD＋EC)·CD＝(9－2m)×2＝9－2m，自變量m的取值范圍為1≤m＜4; 　　(3)①在Rt△ABP1中，∵AB＝2，AP1＝1，∴BP1＝，點(diǎn)P在AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，圓心距EP的長(zhǎng)總等于，當(dāng)⊙P和⊙E相切時(shí)，此時(shí)PF＝EP－EF＝－1，∵Rt△APF∽R(shí)t△ACD，∴＝，∴AP＝5－，當(dāng)1≤m＜5－時(shí)，兩圓外離；當(dāng)m＝5－時(shí)，兩圓外切；當(dāng)5－＜m＜4時(shí)，兩圓相交．②∵矩形ABCD的面積是8，且直線l把矩形ABCD分成兩部分的面積之比為3∶5，∴S四邊形PECD＝5或S四邊形PECD＝3．當(dāng)S四邊形PECD＝5時(shí)，9－2m＝5，m＝2，即AP＝2，∴1＜AP＜5－．∴此時(shí)兩圓外離；當(dāng)S四邊形PECD＝3時(shí)，9－2m＝3，m＝3，即AP＝3，∴5－＜AP＜4．∴此時(shí)兩圓相交．綜上所述，當(dāng)直線l把矩形ABCD分成兩部分的面積之比為3∶5時(shí)，則⊙P和⊙E的位置關(guān)系是外離或相交．