Question

如圖，把矩形紙片OABC放入直角坐標(biāo)系中，是OA、OC分別落在x軸、y軸的正半軸上，連接AC將△ABC翻折，點B落在該坐標(biāo)系平面內(nèi)．設(shè)這個落點為點D，CD交x軸于E，已知CB=4，AB=2．
（1）求點E的坐標(biāo)和△ACE的面積；
（2）求點D的坐標(biāo)，并判斷點（4，-2）是否在直線OD上，說明理由；
（3）點P（-1，n），△PDC為直角三角形，求點P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）首先證明△ACE是等腰三角形，在直角△OCE中利用勾股定理即可求得OE的長，求得E的坐標(biāo)，進(jìn)而求得△ACE的面積；
（2）作DF⊥x軸于點F，根據(jù)△ADE的面積求得D的縱坐標(biāo)，然后在直角△ADF中，利用勾股定理求得AF的長，從而求得OF，即可得到D的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求得直線CD的解析式，然后把點（4，-2）代入判斷即可；
（3）分∠PCD和∠CDP以及∠CPD是直角，三種情況進(jìn)行討論，從而求解．

解答：解：（1）∵矩形OABC中，BC∥OA，
∴∠BCA=∠CAO，
又∵∠BCA=∠ACD，
∴∠ACD=∠CAO，
∴CE=AE，
設(shè)CE=AE=x，則OE=4-x，在直角△OCE中，OC²+OE²=CE²，則2²+（4-x）²=x²，
解得：x=

5

2

，
則OE=4-

5

2

=

3

2

，則E的坐標(biāo)是（

3

2

，0）．
則S_△ACE=

1

2

×

5

2

×2=

5

2

；
（2）作DF⊥x軸于點F．
S_△ACD=S_△ABC=

1

2

×4×2=4，
則S_△ADE=4-

5

2

=

3

2

，
又∵S_△ADE=

1

2

AE•DF，則

1

2

×

5

2

•DF=

3

2

，
∴DF=

6

5

，
在直角△ADF中，AF=

AD2-DF2

=

22-( 6 5 )2

=

8

5

，
則OF=4-

8

5

=

12

5

，
則D的坐標(biāo)是（

12

5

，-

6

5

），
設(shè)直線OD的解析式是y=kx，則

12

5

k=-

6

5

，解得：k=-

1

2

，
則直線OD的解析式是：y=-

1

2

x，
當(dāng)x=4時，y=-2，則（4，-2）在直線OD上；
（3）當(dāng)∠PCD是直角時，設(shè)PC的解析式是y=2x+a，把（0，2）代入解析式得：a=2，
則PC的解析式是y=2x+2，
當(dāng)x=-1時，y=0，則P的坐標(biāo)是（-1，0）；
當(dāng)∠CDP是直角時，設(shè)DP的解析式是y=2x+b，把（

12

5

，-

6

5

）代入得：b=-6，
則直線PD的解析式是y=2x-6，
當(dāng)x=-1時，y=-8，則P的坐標(biāo)是（-1，-8）；
當(dāng)∠CPD是直角時，設(shè)P的坐標(biāo)是（-1，n），PC²=1+（2-n）²，CD²=（

12

5

）²+（-

6

5

-2）²=106，
PD²=（

12

5

+1）²+（-

6

5

-n）²，
∵PC²+PD²=CD²，
則1+（2-n）²+（

12

5

+1）²+（-

6

5

-n）²=106，
解得：n=

2±4 69

5

．
則P的坐標(biāo)是（-1，

2+4 69

5

）或（-1，

2-4 69

5

）或（-1，-8）或（-1，0）．

點評：本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，以及圖形的折疊和勾股定理，正確進(jìn)行討論是關(guān)鍵．