Question

如圖，已知△DBC是等腰直角三角形，∠BDC=90°，BF平分∠DBC，與CD相交于點F，延長BD到A，使DA=DF，延長BF交AC于E．
（1）求證：△BDF≌△CDA；
（2）試說明：△ABC是等腰三角形；
（3）連結(jié)AF并延長，交BC于G點，求證：AG⊥BC．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的判定,等腰直角三角形

專題：

分析：（1）根據(jù)等腰直角三角形的直角邊相等可得BD=CD，再利用“邊角邊”證明△FBD和△ACD全等即可；
（2）根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠DBF=∠DCA，再根據(jù)∠DAC+∠A=90°推出∠DBF+∠A=90°，然后求出∠AEB=90°，再利用“角邊角”證明△ABE和△CBE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AB=CB，從而得證；
（3）根據(jù)△FBD≌△ACD，可得AD=DF，DB=DC，再由∠ADF=90°，可得∠DFA=45°，∠DCB=45°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠AGC的度數(shù)．

解答：證明：（1）∵在等腰Rt△DBC中，BD=CD，
∵∠BDC=90°，
∴∠BDC=∠ADC=90°，
∵在△FBD和△ACD中，

AD=DF ∠BDC=∠ADC DB=CD

，
∴△FBD≌△ACD（SAS）；

（2）∵△FBD≌△ACD，
∴∠DBF=∠DCA，
∵∠ADC=90°，
∴∠DAC+∠A=90°，
∴∠DBF+∠A=90°，
∴∠AEB=180°-（∠DBF+∠A）=90°，
∵BF平分∠DBC，
∴∠ABF=∠CBF，
∵在△ABE和△CBE中，

∠AEB=∠CEB=90° EB=BE ∠ABF=∠CBF

，
∴△ABE≌△CBE（ASA），
∴AB=CB，
∴△ABC是等腰三角形；

（3）∵△FBD≌△ACD，
∴AD=DF，DB=DC，
∵∠ADF=90°，
∴∠DAF=∠DFA=45°，∠DCB=45°，
∵∠AFD=∠GFC=45°，
∴∠FGC=90°，
∴AG⊥BC．

點評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是正確找出證明三角形全等的條件．