Question

如圖，在正方形ABCD中，∠EAF=45°，點(diǎn)E、F在BD上，求證：BE²+FD²=EF²．

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,正方形的性質(zhì)

專題：證明題

分析：把△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，連接EG，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BG=DF，AG=AF，∠BAG=∠DAF，∠ABG=∠ADF，再求出∠GAE=45°，從而得到∠GAE=∠EAF，然后利用“邊角邊”證明△AEG和△AEF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得EF=EG，再求出∠GBE=90°，然后利用勾股定理列式證明即可．

解答：證明：如圖，把△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，連接EG，
∴BG=DF，AG=AF，∠BAG=∠DAF，∠ABG=∠ADF，
∵∠EAF=45°，
∴∠GAE=∠BAG+∠BAE=∠DAF+∠BAE=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°，
∴∠GAE=∠EAF，
在△AEG和△AEF中，

AG=AF ∠GAE=∠EAF AE=AE

，
∴△AEG≌△AEF（SAS），
∴EF=EG，
在在正方形ABCD中，∠ABE=∠ADF=45°，
∴∠GBE=∠ABG+∠ABE=45°+45°=90°，
∴BE²+BG²=EG²，
即BE²+FD²=EF²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，正方形的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于作輔助線構(gòu)造成全等三角形和直角三角形．