Question

28、（1）如圖1，等腰直角△ABC的直角頂點(diǎn)C在直線m上，AD⊥m，BE⊥m，垂足分別為D、E．試說(shuō)明：
①△ADC≌△CEB；
②AD+BE=DE；
（2）習(xí)題演變：如圖2，等腰△ABC中，AC=CB，若頂點(diǎn)C在直線m上，點(diǎn)D、E也在直線m上，若∠ACB=∠ADC=∠CEB=110°，題（1）的結(jié)論AD+BE=DE還成立嗎？并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）①根據(jù)已知首先證明∠DAC=∠ECB，再利用AAS即可得出△ADC≌△CBE；
②利用△ADC≌△CBE，即可得出三角形對(duì)應(yīng)邊之間的關(guān)系，即可得出答案；
（2）根據(jù)已知首先證明∠DAC=∠ECB，再利用AAS即可得出△ADC≌△CBE，即可得出三角形對(duì)應(yīng)邊之間的關(guān)系，即可得出答案．

解答：證明：（1）①∵AD⊥m，BE⊥m，∠ABC=90°，AC=BC，
∴△ADC和△BEC都是直角三角形，
∴∠DCA+∠BCE=90°，
∵∠ADC=90°，
∴∠DCA+∠DAC=90°，
∴∠DAC=∠ECB，
又∵∠ADC=∠CEB=90°，AB=BC
所以△ADC≌△CBE（AAS），
②∵△ADC≌△CBE
∴CE=AD，BE=DC
∴AD+BE=CE+CD
所以AD+BE=DE；
（2）∵等腰△ABC中，AC=CB，
∠ACB=∠ADC=∠CEB=110°，
∴∠DCA+∠DAC=180°-110°=70°，∠ECB+∠CBE=180°-110°=70°，
∠DCA+∠ECB=180°-110°=70°，
∴∠DCA=∠EBC，
∵∠ADC=∠CEB=110°，AC=CB，
∴△ADC≌△CBE（AAS），
∴CE=AD，BE=DC
∴AD+BE=CE+CD
所以AD+BE=DE．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了三角形全等的證明，根據(jù)已知得出∠DAC=∠ECB再利用全等三角形的判定方法得出是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．