Question

12．如圖所示，在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸正半軸上，OA=12$\sqrt{3}$cm，點(diǎn)B在y軸的正半軸上，OB=12cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O開(kāi)始沿OA以2$\sqrt{3}$cm/s的速度向點(diǎn)A移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A開(kāi)始沿AB以4cm/s的速度向點(diǎn)B移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)R從點(diǎn)B開(kāi)始沿BO以2cm/s的速度向點(diǎn)O移動(dòng)，如果P、Q、R分別從O、A、B同時(shí)移動(dòng)，移動(dòng)時(shí)間為ts（0＜t＜6）．
（1）求∠OAB的度數(shù)；
（2）寫出△POR的面積S隨動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最小值及相應(yīng)的t值．
（3）是否存在△APQ為等腰三角形，若存在，直接寫出相應(yīng)的t值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）在Rt△OAB中，已知了OA、OB的長(zhǎng)，即可求出∠OAB的正切值，由此可得到∠OAB的度數(shù)；
（2）過(guò)Q作QE⊥x軸于E，在Rt△AQE中，可用t表示出AQ的長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)∠OAB的度數(shù)表示出QE、AE的長(zhǎng)，由S_△PQR=S_△OAB-S_△OPR-S_△APQ-S_△BRQ即可求得S、t的函數(shù)關(guān)系式；根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)及自變量的取值范圍即可求出S的最小值及對(duì)應(yīng)的t的值；
（3）由于△APQ的腰和底不確定，需分類討論：
①AP=AQ，可分別用t表示出兩條線段的長(zhǎng)，然后根據(jù)它們的等量關(guān)系求出此時(shí)t的值；
②PQ=AQ，過(guò)點(diǎn)Q作QD⊥x軸于D，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)知：PA=2AD；可分別用t表示出PA、AD的長(zhǎng)，然后根據(jù)它們的等量關(guān)系列方程求解；
③AP=PQ，過(guò)點(diǎn)Q做QH⊥AQ于H，方法同②．

解答 解：（1）在Rt△AOB中：
tan∠OAB=$\frac{OB}{OA}$，
∴∠OAB=30°．


（2）如圖，過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥x于點(diǎn)E．
∵∠BAO=30°，AQ=4t，
∴QE=$\frac{1}{2}$AQ=2t，
AE=AQ•cos∠OAB=4t×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$t．
∴OE=OA-AE=12$\sqrt{3}$-2$\sqrt{3}$t．
∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（12$\sqrt{3}$-2$\sqrt{3}$t，2t），
S_△PQR=S_△OAB-S_△OPR-S_△APQ-S_△BRQ
=$\frac{1}{2}$×12×12$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$t×（12-2$\sqrt{3}$t）×2t-$\frac{1}{2}$×2t×（12$\sqrt{3}$-2$\sqrt{3}$）=6$\sqrt{3}$（t-3）²+18$\sqrt{3}$（0＜t＜6）
當(dāng)t=3時(shí)，S_△PQR最小=18$\sqrt{3}$；

（3）分三種情況：如圖
①當(dāng)AP=AQ₁=4t時(shí)，
∵OP+AP=12$\sqrt{3}$，
∴2$\sqrt{3}$t+4t=12$\sqrt{3}$．
∴t=12$\sqrt{3}$-18，
②當(dāng)PQ₂=AQ₂=4t時(shí)，
過(guò)Q₂點(diǎn)作Q₂E⊥x軸于點(diǎn)E．
∴PA=2AE=2AQ₂•cosA=4$\sqrt{3}$t，
即2$\sqrt{3}$t+4$\sqrt{3}$t=12$\sqrt{3}$，
∴t=2；
③當(dāng)PA=PQ₃時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AB于點(diǎn)H．
AH=PA•cos30°=（12$\sqrt{3}$-2$\sqrt{3}$t）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=18-3t，
AQ₃=2AH=36-6t，
得36-6t=4t，
∴t=3.6．
綜上所述，當(dāng)t=2或t=3.6或t=12$\sqrt{3}$-18時(shí)，△APQ是等腰三角形．

點(diǎn)評(píng) 此題是三角形的綜合題，主要考查了切線的判定、全等三角形的判定和性質(zhì)、二次函數(shù)的應(yīng)用以及等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，需注意的是（3）題在不確定等腰三角形腰和底的情況下，要充分考慮到各種可能的情況，以免漏解