Question

已知：直線l₁與直線l₂平行，且它們之間的距離為2，A、B是直線l₁上的兩個定點，C、D是直線l₂上的兩個動點（點C在點D的左側(cè)），AB=CD=5，連接AC、BD、BC，將△ABC沿BC折疊得到△A₁BC．
（1）求四邊形ABDC的面積．
（2）當A₁與D重合時，四邊形ABDC是什么特殊四邊形，為什么？
（3）當A₁與D不重合時
①連接A₁、D，求證：A₁D∥BC；
②若以A₁，B，C，D為頂點的四邊形為矩形，且矩形的邊長分別為a，b，求（a+b）²的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)平行四邊形的判定方法可得到四邊形ABCD為平行四邊形，然后根據(jù)平行四邊形的面積公式計算；
（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)得到AC=CD，然后根據(jù)菱形的判定方法可判斷四邊形ABDC是菱形；
（3）①連結(jié)A₁D，根據(jù)折疊性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)得到CA₁=CA=BD，AB=CD=A₁B，∠1=∠CBA=∠2，可證明△A₁CD≌△A₁BD，則∠3=∠4，然后利用三角形內(nèi)角和定理得到得到∠1=∠4，則根據(jù)平行線的判定得到A₁D∥BC；
②討論：當∠CBD=90°，則∠BCA=90°，由于S_△A1CB=S_△ABC=5，則S_矩形A1CBD=10，即ab=10，由BA₁=BA=5，根據(jù)勾股定理得到a²+b²=25，然后根據(jù)完全平方公式進行計算；
當∠BCD=90°，則∠CBA=90°，易得BC=2，而CD=5，所以（a+b）²=（2+5）²．

解答：解（1）∵AB=CD=5，AB∥CD，
∴四邊形ABCD為平行四邊形，
∴四邊形ABDC的面積=2×5=10；

（2）∵四邊形ABDC是平行四邊形，
∵A₁與D重合時，
∴AC=CD，
∵四邊形ABDC是平行四邊形，
∴四邊形ABDC是菱形；

（3）①連結(jié)A₁D，如圖，
∵△ABC沿BC折疊得到△A₁BC，
∴CA₁=CA=BD，AB=CD=A₁B，
在△A₁CD和△A₁BD中

CA1=BD CD=BA1 A1D=A1D

∴△A₁CD≌△A₁BD（SSS），
∴∠3=∠4，
又∵∠1=∠CBA=∠2，
∴∠1+∠2=∠3+∠4，
∴∠1=∠4，
∴A₁D∥BC；
②當∠CBD=90°，
∵四邊形ABDC是平行四邊形，
∴∠BCA=90°，
∴S_△A1CB=S_△ABC=

1

2

×2×5=5，
∴S_矩形A1CBD=10，即ab=10，
而BA₁=BA=5，
∴a²+b²=25，
∴（a+b）²=a²+b²+2ab=45；
當∠BCD=90°時，
∵四邊形ABDC是平行四邊形，
∴∠CBA=90°，
∴BC=2，
而CD=5，
∴（a+b）²=（2+5）²=49，
∴（a+b）²的值為45或49．

點評：本題考查了四邊形綜合題：熟練掌握平四邊形的判定與性質(zhì)以及特殊平行四邊形的判定與性質(zhì)；會運用折疊的性質(zhì)確定相等的線段和角．