Question

（2012•本溪）某工廠生產(chǎn)某品牌的護(hù)眼燈，并將護(hù)眼燈按質(zhì)量分成15個(gè)等級(jí)（等級(jí)越高，燈的質(zhì)量越好．如：二級(jí)產(chǎn)品好于一級(jí)產(chǎn)品）．若出售這批護(hù)眼燈，一級(jí)產(chǎn)品每臺(tái)可獲利潤(rùn)21元，每提高一個(gè)等級(jí)每臺(tái)可多獲利潤(rùn)1元，工廠每天只能生產(chǎn)同一個(gè)等級(jí)的護(hù)眼燈，每個(gè)等級(jí)每天生產(chǎn)的臺(tái)數(shù)如下表所示：

等級(jí)（x級(jí)）	一級(jí)	二級(jí)	三級(jí)	…
生產(chǎn)量（y臺(tái)/天）	78	76	74	…

（1）已知護(hù)眼燈每天的生產(chǎn)量y（臺(tái)）是等級(jí)x（級(jí)）的一次函數(shù)，請(qǐng)直接寫(xiě)出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式：

y=-2x+80

；
（2）若工廠將當(dāng)日所生產(chǎn)的護(hù)眼燈全部售出，工廠應(yīng)生產(chǎn)哪一等級(jí)的護(hù)眼燈，才能獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少？

Answer 1

分析：（1）由于護(hù)眼燈每天的生產(chǎn)量y（臺(tái)）是等級(jí)x（級(jí)）的一次函數(shù)，所以可設(shè)y=kx+b，再把（1，78）、（2，76）代入，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)工廠生產(chǎn)x等級(jí)的護(hù)眼燈時(shí)，獲得的利潤(rùn)為w元．由于等級(jí)提高時(shí)，帶來(lái)每臺(tái)護(hù)眼燈利潤(rùn)的提高，同時(shí)銷售量下降．而x等級(jí)時(shí)，每臺(tái)護(hù)眼燈的利潤(rùn)為[21+1（x-1）]元，銷售量為y元，根據(jù)：利潤(rùn)=每臺(tái)護(hù)眼燈的利潤(rùn)×銷售量，列出w與x的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出最大利潤(rùn)．

解答：解：（1）由題意，設(shè)y=kx+b．
把（1，78）、（2，76）代入，
得

k+b=78 2k+b=76

，
解得

k=-2 b=80

，
∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=-2x+80．
故答案為y=-2x+80；

（2）設(shè)工廠生產(chǎn)x等級(jí)的護(hù)眼燈時(shí)，獲得的利潤(rùn)為w元．
由題意，有w=[21+1（x-1）]y
=[21+1（x-1）]（-2x+80）
=-2（x-10）²+1800，
所以當(dāng)x=10時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)1800元．
故若工廠將當(dāng)日所生產(chǎn)的護(hù)眼燈全部售出，工廠應(yīng)生產(chǎn)十級(jí)的護(hù)眼燈時(shí)，能獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是1800元．

點(diǎn)評(píng)：本題考查運(yùn)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式及二次函數(shù)的應(yīng)用，難度中等．（2）中生產(chǎn)等級(jí)提高時(shí)，帶來(lái)每臺(tái)護(hù)眼燈利潤(rùn)的提高，同時(shí)銷售量下降，列函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要注意這“一增一減”，這是本題的難點(diǎn)．