Question

已知關于x的方程：x²-（m-1）x-m=0①和x²-（9-m）x+2（m+1）=3②，其中m＞0．
（1）求證：方程①總有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）設二次函數(shù)y1=x2-(m-1)x-m的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），將A、B兩點按照相同的方式平移后，點A落在點A′（1，3）處，點B落在點B′處，若點B′的橫坐標恰好是方程②的一個根，求m的值；
（3）設二次函數(shù)y2=x2-(9-m)x+2(m+1)，在（2）的條件下，函數(shù)y₁，y₂的圖象位于直線x=3左側的部分與直線y=kx（k＞0）交于兩點，當向上平移直線y=kx時，交點位置隨之變化，若交點間的距離始終不變，則k的值是

 

．

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點,根的判別式,一次函數(shù)圖象與幾何變換,坐標與圖形變化-平移

專題：

分析：（1）依據(jù)根的判別式△＞0即可判定．
（2）根據(jù)解析式求得與x軸的交點A（-1，0），B（m，0），平移后，點A落在點A'（1，3）處，則平移方式是將點A向右平移2個單位，再向上平移3個單位得到，所以點B平移后的點B為（m+2，3），代入x²-（9-m）x+2（m+1）②，即可求得m的值．
（3）由（2）可知m=3，所以拋物線的解析式可求出，進而可求出兩個拋物線的交點坐標，再由條件向上平移直線y=kx時，交點位置隨之變化，若交點間的距離始終不變，即可求出k的值．

解答：解：（1）方程x²-（m-1）x-m=0中，
△=（m-1）²+4m=m²+2m+1=（m+1）²，
由m＞0知必有m+1＞0，故△＞0．∴方程①總有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）令y₁=0，依題意可解得A（-1，0），B（m，0）．
∵平移后，點A落在點A'（1，3）處，
∴平移方式是將點A向右平移2個單位，再向上平移3個單位得到．
∴點B（m，0）按相同的方式平移后，點B'為（m+2，3）．
則依題意有（m+2）²-（9-m）（m+2）+2（m+1）=3．
解得m₁=3，m2=-

5

2

（負數(shù)舍去）．
∴m的值為3．
（3）∵m=3，
∴y₁=x²-2x-3，y₂=x²-6x+8，
∴y₁與y=kx的交點坐標為：

y=kx y=x2-2x-3

，y₂與y=kx的交點坐標為

y=kx y=x2-6x+8

，
又∵向上平移直線y=kx時，交點位置隨之變化，若交點間的距離始終不變，
∴k=

3

2

．
故答案為：

3

2

．

點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合運用，用到的知識點有根的判別式的運用、平移的性質以及函數(shù)圖象交點的問題，題目的綜合性較強，對學生的綜合解題能力要求很高，是一道不錯的中考題．