Question

8．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若P和Q兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，則稱點(diǎn)P與點(diǎn)Q是一個(gè)“和諧點(diǎn)對”，表示為[P，Q]，比如[P（1，2），Q（-1，-2）]是一個(gè)“和諧點(diǎn)對”．
（1）寫出反比例函數(shù)y=$\frac{1}{x}$圖象上的一個(gè)“和諧點(diǎn)對”；
（2）已知二次函數(shù)y=x²+mx+n，
①若此函數(shù)圖象上存在一個(gè)和諧點(diǎn)對[A，B]，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，4），求m，n的值；
②在①的條件下，在y軸上取一點(diǎn)M（0，b），當(dāng)∠AMB為銳角時(shí)，求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題目中所給和諧點(diǎn)對的定義可知P、Q即為關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個(gè)點(diǎn)，在反比例函數(shù)圖象上找出兩點(diǎn)即可；
（2）①由A、B為和諧點(diǎn)對可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，則可得到關(guān)于m、n的方程組，可求得其值；②當(dāng)M在x軸上方時(shí)，可先求得∠AMB為直角時(shí)對應(yīng)的M點(diǎn)的坐標(biāo)，當(dāng)點(diǎn)M向上運(yùn)動時(shí)滿足∠AMB為銳角；當(dāng)點(diǎn)M在x軸下方時(shí)，同理可求得b的取值范圍．

解答 解：
（1）∵y=$\frac{1}{x}$，
∴可取[P（1，1），Q（-1，-1）]；
（2）①∵A（2，4）且A和B為和諧點(diǎn)對，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，-4），
將A和B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y=x²+mx+n，可得$\left\{{\begin{array}{l}{4+2m+n=4}\\{4-2m+n=-4}\end{array}}\right.$，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{m=2}\\{n=-4}\end{array}}\right.$；
②（�。� M點(diǎn)在x軸上方時(shí)，
若∠AMB 為直角（M點(diǎn)在x軸上），則△ABC為直角三角形，
∵A（2，4）且A和B為和諧點(diǎn)對，
∴原點(diǎn)O在AB線段上且O為AB中點(diǎn)，
∴AB=2OA，
∵A（2，4），
∴OA=$2\sqrt{5}$，
∴AB=$4\sqrt{5}$，
在Rt△ABC中，
∵O為AB中點(diǎn)
∴MO=OA=$2\sqrt{5}$，
若∠AMB 為銳角，則$b＞2\sqrt{5}$；
（ⅱ） M點(diǎn)在x軸下方時(shí)，同理可得，$b＜-2\sqrt{5}$，
綜上所述，b的取值范圍為$b＞2\sqrt{5}$或$b＜-2\sqrt{5}$．

點(diǎn)評 本題為反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及中心對稱、待定系數(shù)法、直角三角形的性質(zhì)、方程思想及分類討論思想等知識．在（1）中理解題目中所給的和諧點(diǎn)對的實(shí)質(zhì)是關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個(gè)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵，在（2）①中利用和諧點(diǎn)對的定義求得點(diǎn)B的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在（2）②中求得使∠AMB為直角時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．