Question

12．已知，如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分線AD交BC邊于D．
（1）以AB邊上一點(diǎn)O為圓心，過A，D兩點(diǎn)作⊙O（不寫作法，保留作圖痕跡），再判斷直線BC與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）若（1）中的⊙O與AB邊的另一個(gè)交點(diǎn)為E，AB=6，BD=$2\sqrt{3}$，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意得：O點(diǎn)應(yīng)該是AD垂直平分線與AB的交點(diǎn)；由∠BAC的角平分線AD交BC邊于D，與圓的性質(zhì)可證得AC∥OD，又由∠C=90°，則問題得證；
（2）設(shè)⊙O的半徑為r．則在Rt△OBD中，利用勾股定理列出關(guān)于r的方程，通過解方程即可求得r的值．

解答 解：（1）如圖1，作AD的垂直平分線交AB于點(diǎn)O，O為圓心，OA為半徑作圓．
判斷結(jié)果：BC是⊙O的切線．
如圖2，連接OD． 
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC=∠DAB
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠DAB
∴∠DAC=∠ODA，
∴OD∥AC，
∴∠ODB=∠C，
∵∠C=90°，
∴∠ODB=90°，
 即：OD⊥BC，
∵OD是⊙O的半徑，
∴BC是⊙O的切線．

（2）設(shè)⊙O的半徑為r，則OB=6-r，
∵BD=2$\sqrt{3}$，
在Rt△OBD中，OD²+BD²=OB²，
即r²+（2$\sqrt{3}$）²=（6-r）²，
解得r=2．
故⊙O的半徑是2．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了切線的判定與性質(zhì)，以及勾股定理等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．