Question

18．如圖，矩形ABCD在第一象限，四邊分別平行于x軸和y軸，且頂點(diǎn)A、C在反比例函數(shù)圖象上，BA延長線交y軸于點(diǎn)E，BC延長線交x軸于點(diǎn)F，S_△AOE=$\frac{1}{2}$．
（1）求反比例函數(shù)解析式；
（2）請(qǐng)說明點(diǎn)B在射線OD上；
（3）若AC=2AO，請(qǐng)?zhí)剿鳌螦OF與∠DOF的大小關(guān)系，并說理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{k}{x}$，設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），則OE=y，AE=x，利用S_△AOE=$\frac{1}{2}$可求得xy=1，可求得k，求得函數(shù)解析式；
（2）分別延長AD、CD，分別交x軸、y軸于點(diǎn)N、M，則可得S_矩形ANOE=S_矩形OFCM，從而可得到$\frac{DN}{BF}$=$\frac{ON}{OF}$，可知O、D、B三點(diǎn)在一條直線上，可證得結(jié)論；
（3）設(shè)BD交AC于點(diǎn)H，則AH=OA，可得到∠AOH=∠AHO=2∠HDC=2∠DOF，從而可得到∠AOF和∠DOF的關(guān)系．

解答 解：
（1）設(shè)反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{k}{x}$，A點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），則OE=y，AE=x，
∵A點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上，
∴xy=k，
∵S_△AOE=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$OE•AE=$\frac{1}{2}$xy=$\frac{1}{2}$，
∴k=xy=1，
∴反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{1}{x}$；
（2）如圖1，分別延長AD、CD，分別交x軸、y軸于點(diǎn)N、M，

∵四邊形ABCD為矩形，
∴四邊形ONAE和四邊形OMCF為矩形，
∴OM=ND，BF=OE，
∵A、C兩點(diǎn)都在反比例函數(shù)圖象上，
∴ON•OE=1，OF•OM=1，即ON•OE=OF•OM，
∴$\frac{ON}{OF}$=$\frac{OM}{OE}$=$\frac{DN}{BF}$，
∴O、D、B三點(diǎn)在一條直線上，
∴B點(diǎn)在射線OD上；
（3）如圖2，連接BD交AC于點(diǎn)H，

∵四邊形ABCD為矩形，
∴AH=HC，
∵AC=2OA，
∴AH=OA，
∴∠AHO=∠AOH，
∵CD∥OF，
∴∠DOF=∠HDC=∠HCD，
∵∠AHD=∠HDC+∠HCD=2∠HDC，
∴∠AHD=2∠DOF，
∴∠AOD=2∠DOF，
∴∠AOF=∠AOD+∠DOF=3∠DOF，即∠AOF是∠DOF的三倍．

點(diǎn)評(píng) 本題為反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及知識(shí)點(diǎn)有待定系數(shù)法、反比例函數(shù)k的幾何意義、矩形的性質(zhì)、平行線分線段成比例及等腰三角形的性質(zhì)等．在（2）中利用反比例函數(shù)k的幾何意義求得線段成比例是解題的關(guān)鍵，注意平行線分線段成比例定理的應(yīng)用，在（3）中由線段的關(guān)系得到角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性很強(qiáng)，特別是第（2）問難度很大．