Question

2．拋物線y=a（x-2）²（a＞0）的頂點為A，拋物線與y軸的交點為點C，B為拋物線上一點，△ABC為等邊三角形，求函數(shù)解析式．

Answer 1

分析 先利用二次函數(shù)的性質(zhì)得A（2，0），再表示出C點坐標為（0，4a），然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得AC=AB，∠BAC=60°，則點C和點B關(guān)于直線x=2對稱，作AD⊥BC于D，如圖，所以AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC，即4a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×4，于是求出a即可．

解答 解：拋物線y=a（x-2）²，則A（2，0），
當x=0時，y=4a，則C（0，4a），
∵△ABC為等邊三角形，
∴AC=AB，∠BAC=60°，
∴點C和點B關(guān)于直線x=2對稱，
∴B（4，4a），
作AD⊥BC于D，如圖，則AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC，
∴4a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×4，解得a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴拋物線解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x-2）²．

點評 本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當已知拋物線的頂點或?qū)ΨQ軸時，常設(shè)其解析式為頂點式來求解；當已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設(shè)其解析式為交點式來求解．也看考查了等邊三角形的性質(zhì)．