Question

等邊三角形ABK、BCL、CDM和DAN，證明四線段KL、LM、MN、NK的中點(diǎn)和八線段AK、BK、BL、CL、CM、DM、DN、AN的中點(diǎn)，是一個(gè)正十二邊形的十二個(gè)頂點(diǎn)。

Answer 1

證明：如圖，以已知正方形的中心O為原點(diǎn)，以正方形邊長(zhǎng)之半為長(zhǎng)度單位建立直角坐標(biāo)系．則正方形四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為： A（-1，-1），B（1，-1），C（1，1），D（-1，1）
∵所作的四個(gè)等邊三角形分別對(duì)稱于x軸或y軸，
∴K、L、M、N四點(diǎn)在X軸和y軸上，它們的坐標(biāo)分別為：

CL、NK、CM的中點(diǎn)分別為：
利用距離公式可得



所以 |OP₁|=|OP₂|=|OP₃| 且 |P₁P₂|=|P₂P₃|
又由對(duì)稱性可知，這十二條線段的中點(diǎn)，即圖中的點(diǎn)P₁、P₂、P₃、…、P₁₁、P₁₂，與O點(diǎn)的距離都相等，即它們都在以O(shè)為圓心，為半徑的圓上，并且每相鄰兩點(diǎn)之間的距離都相等，（都等于）因此，這12個(gè)點(diǎn)是一個(gè)正十二邊形的頂點(diǎn)。