Question

15．已知二次函數(shù)y=mx²+2（m+2）x+m+9．
（1）如果二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，求m的取值范圍；
（2）如圖，二次函數(shù)的圖象過，點(diǎn)A（4，0），與y軸交于點(diǎn)B，直線AB與這個(gè)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸交于點(diǎn)P，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用二次函數(shù)的定義和判別式的意義得到m≠0且△=4（m+2）²-4m•（m+9）＞0，然后求出兩個(gè)不等式的公共部分即可；
（2）先把A（4，0）代入y=mx²+2（m+2）x+m+9求出m=-1，則拋物線解析式為y=-x²+2x+8，配成頂點(diǎn)式得y=-（x-1）²+9，于是得到拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，接著確定B（0，8），然后利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式為y=-2x+8，再求自變量為1時(shí)的一次函數(shù)值即可得到P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）根據(jù)題意得m≠0且△=4（m+2）²-4m•（m+9）＞0，
所以m＜$\frac{4}{5}$且m≠0；
（2）把A（4，0）代入y=mx²+2（m+2）x+m+9得16m+8（m+2）+m+9=0，
解得m=-1，
所以拋物線解析式為y=-x²+2x+8=-（x-1）²+9，
所以拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，
當(dāng)x=0時(shí)，y=-x²+2x+8=8，則B（0，8），
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
把A（4，0），B（0，8）代入得$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=8}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=8}\end{array}\right.$，
所以直線AB的解析式為y=-2x+8，
當(dāng)x=1時(shí)，y=-2x+8=6，
所以P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，6）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程．△=b²-4ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)：△=b²-4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；△=b²-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；△=b²-4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．