Question

4．如圖，E（2，3），F(xiàn)（3，2）在正方形OABC的邊上，⊙D分別切OE，OF于E，F(xiàn)，則⊙D的半徑為$\frac{{\sqrt{13}}}{5}$．

Answer 1

分析 連接OB、EF交于H，由E、F的坐標(biāo)得出CE=AF=2，BE=BF=1，根據(jù)正方形的性質(zhì)得出OB平分∠ABC，根據(jù)等腰三角形三線合一得出OB⊥EF，且平分EF，根據(jù)垂徑定理得出OB經(jīng)過圓心D，連接DE，根據(jù)切線的性質(zhì)得出DE⊥OE，根據(jù)勾股定理得出OE=$\sqrt{O{C}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{13}$，EH=BH=$\sqrt{\frac{1}{2}E{B}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，OH=$\sqrt{O{E}^{2}-E{H}^{2}}$=$\frac{5}{2}$$\sqrt{2}$，然后根據(jù)△EDH∽△OEH，對(duì)應(yīng)邊成比例即可求得圓D的半徑．

解答 解：連接OB、EF交于H，
∵E（2，3），F(xiàn)（3，2）
∴B（3，3），
∴CE=AF=2，BE=BF=1，
∵四邊形OABC是正方形，
∴OB平分∠ABC，
∴OB⊥EF，且平分EF，
∴OB經(jīng)過圓心D，
連接DE，
∵E是⊙D的切點(diǎn)，
∴DE⊥OE，
在RT△OCE中，OE=$\sqrt{O{C}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
在RT△BDE中，EH=BH=$\sqrt{\frac{1}{2}E{B}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
在RT△OHE中，OH=$\sqrt{O{E}^{2}-E{H}^{2}}$=$\frac{5}{2}$$\sqrt{2}$，
∵△EDH∽△OEH，
∴$\frac{ED}{OE}$=$\frac{EH}{OH}$，即$\frac{ED}{\sqrt{13}}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{5\sqrt{2}}{2}}$，
∴ED=$\frac{\sqrt{13}}{5}$．
故答案為$\frac{\sqrt{13}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，垂徑定理勾股定理等，作出輔助線關(guān)鍵直角三角形是解題的關(guān)鍵．