Question

棱長(zhǎng)為a的正方體擺放成如圖所示的形狀，現(xiàn)在請(qǐng)回答下列問(wèn)題：

(1)如果這一物體擺放成了如圖所示的上下三層，求該物體的表面積(列出算式，并求出結(jié)果)；

(2)依圖中擺放方法類(lèi)推，如果該物體共擺放了20層，求該物體的表面積(列出算式，并求出結(jié)果)．

Answer 1

答案：
解析：

分析　如果計(jì)算每層上小正方體露在外面的表面積，再把它們相加，即便能計(jì)算出第(1)問(wèn)，但對(duì)于第(2)問(wèn)來(lái)說(shuō)，困難相當(dāng)大，因此要尋找新的解題途徑．注意到物體從上、下、左、右、前、后等六個(gè)方向直視的平面圖完全相同，而這六個(gè)方向的視圖面積之和正好是物體的表面積．于是準(zhǔn)確畫(huà)出每個(gè)方向的視圖是解答本題的關(guān)鍵． 　　解　(1)由題中所示，從上、下、左、右、前、后等六個(gè)方向直視的平面圖均為答圖，故每個(gè)方向上均有6個(gè)等面積的小正方形，其面積均為a2．因此，當(dāng)物體擺成上下三層時(shí)，表面積為6×(1＋2＋3)×a2＝36 a2． 　　(2)當(dāng)擺放20層時(shí)，由答圖類(lèi)推可知，每個(gè)方向上均有(1＋2＋3＋…＋20)個(gè)小正方形，因此，其表面積為6×(1＋2＋3＋…＋20)×a2＝6×210a2＝1260a2． 點(diǎn)撥　我們也可以依此類(lèi)推出擺放n層時(shí)，表面積為6×(1＋2＋3＋…＋n)×a2＝(3n2＋3n)a2．