Question

如圖，以△ABC的AB、AC邊為斜邊向外作Rt△ABD和Rt△ACE，且使∠ABD=∠ACE=α，P是BC中點，
（1）求證：DP=EP；  
（2）求∠DPE的度數(shù)．

Answer 1

考點：三角形中位線定理,全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）分別取AB、AC的中點，連接PM、DM，PN、EN，根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得PM=

1

2

AC，PN=

1

2

AB，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得DM=

1

2

AB，NE=

1

2

AC，從而得到DM=PN，MP=NE，再求出∠PMD=∠PNE，然后利用“邊角邊”證明△PDM和△EPN全等，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等證明即可；
（2）設(shè)∠PDM=x，∠DPM=y，然后表示出∠ADP和∠AEP，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和等于360°列式整理，然后求解即可．

解答：（1）證明：如圖，取AB、AC的中點，連接PM、DM，PN、EN，
∵P是BC中點，
∴PM、PN都是△ABC的中位線，
∴PM∥AC，PN∥AB，PM=

1

2

AC，PN=

1

2

AB，
∵△ABD和△ACE都是直角三角形，
∴DM=

1

2

AB，NE=

1

2

AC，
∴DM=PN，MP=NE，
∵∠PMD=∠BMD+∠BMP=2∠BAD+∠BAC=2（90°-α）+∠BAC，
∠PNE=∠CNE+∠CNP=2∠CAE+∠BAC=2（90°-α）+∠BAC，
∴∠PMD=∠PNE，
在△PDM和△EPN中，

DM=PN ∠PMD=∠PNE MP=NE

，
∴△PDM≌△EPN（SAS），
∴DP=EP；

（2）解：設(shè)∠PDM=x，∠DPM=y，
∵∠ABD=∠ACE=α，
∴∠ADM=∠BAD=∠AEN=∠CAE=90°-α，
∴∠ADP=x+90°-α，∠AEP=y+90°-α，
∵PM∥AC，PN∥AB，
∴四邊形AMPN是平行四邊形，
∴∠MPN=∠BAC，
在四邊形ADPE中，（x+90°-α）+（x+∠MPN+y）+（y+90°-α）+2（90°-α）+∠BAC=360°，
解得x+y+∠BAC=2α，
∴∠DPE=y+∠BAC+x=2α．

點評：本題考查了三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，全等三角形的判定與性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵，難點在于（2）利用四邊形內(nèi)角和定理列出方程．