Question

9．如圖，已知⊙O 中，AB為直徑，CD為⊙O的切線，交AB的延長線于點D，∠D=30°．
（1）求∠A的度數(shù)；
（2）若點F在⊙O上，CF⊥AB，垂足為E，CF=4$\sqrt{3}$，求圖中陰影部分的面積．（結(jié)果保留π）

Answer 1

分析 （1）連接OC，如圖，利用切線的性質(zhì)得∠OCD=90°，則利用互余可計算出∠DOC=60°，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)可求出∠A的度數(shù)；
（2）根據(jù)垂徑定理得到CE=$\frac{1}{2}$CF=2$\sqrt{3}$，再在Rt△OCE中利用解直角三角形求出OE、OC的長，然后根據(jù)扇形面積公式，利用圖中陰影部分的面積=S_扇形BOC-S_△OCE進行計算即可．

解答 解：（1）連接OC，如圖，
∵CD為⊙O的切線，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∴∠DOC=90°-∠D=90°-30°=60°，
∵OA=OC，
∴∠A=∠OCA，
而∠DOC=∠A+∠OCA，
∴∠A=$\frac{1}{2}∠$DOC=30°；
（2）∵CF⊥AB，
∴CE=EF=$\frac{1}{2}$CF=2$\sqrt{3}$，
在Rt△OCE中，∵tan∠OCE=$\frac{CE}{OE}$=tan60°，
∴OE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$CE=2，
∴OC+2OE=4，
∴圖中陰影部分的面積=S_扇形BOC-S_△OCE=$\frac{60•π•{4}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×2×$2\sqrt{3}$=$\frac{8}{3}$π-2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點的半徑，構造定理圖，得出垂直關系．也考查了垂徑定理和扇形的面積公式．