Question

如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線經過點A（4，0），B（0，4），C（-2，0）三點． 
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點M為第一象限內拋物線上的一動點，點M的橫坐標為m，△AMB的面積為S，求S關于m的函數(shù)關系式，并求出S的最大值；
（3）若點P是拋物線上的動點，點Q是直線y=-x上的動點，判斷有幾個位置能使以點P、Q、B、O為頂點的平行四邊形，直接寫出相應的點Q的坐標．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）設拋物線解析式為y=a（x-4）（x+2），把點B的坐標代入求出a的值，即可得解；
（2）過點M作MN⊥x軸于N，根據△AMB的面積S=S_梯形ONMB+S_△AMN-S_△AOB列式整理即可得到S與m的關系式，然后根據二次函數(shù)的最值問題解答；
（3）根據一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，設點Q（x，-x），再分①OB是平行四邊形的邊，分點P在點Q的上方和下方兩種情況表示出點P的坐標，然后根據點P在拋物線上，列出方程求解即可；②OB是平行四邊形的對角線時，根據平行四邊形的對角線互相平分表示出點P的坐標，然后根據點P在拋物線上，列出方程求解．

解答：解：（1）設拋物線解析式為y=a（x-4）（x+2），
把點B（0，4）代入得，-8a=4，
解得a=-

1

2

，
所以，拋物線解析式為y=-

1

2

（x-4）（x+2），
即y=-

1

2

x²+x+4；

（2）∵A（4，0），B（0，4），
∴OA=4，OB=4，
如圖，過點M作MN⊥x軸于N，
∵點M的橫坐標為m，
∴ON=m，AN=（4-m），MN=-

1

2

m²+m+4，
∴△AMB的面積S=S_梯形ONMB+S_△AMN-S_△AOB，
=

1

2

（-

1

2

m²+m+4+4）×m+

1

2

（4-m）（-

1

2

m²+m+4）-

1

2

×4×4，
=-m²+4m，
∴S關于m的函數(shù)關系式為：S=-m²+4m，
∵S=-m²+4m=-（m-2）²+4，
∴當m=2時，S有最大值為4；

（3）∵點Q是直線y=-x上的動點，
∴設點Q（x，-x），
①OB是平行四邊形的邊時，若點P在點Q的上方，則點P的坐標為（x，-x+4），
∵點P在拋物線y=-

1

2

x²+x+4上，
∴-

1

2

x²+x+4=-x+4，
整理得，x²-4x=0，
解得x₁=0（舍去），x₂=4，
此時，點Q的坐標為（4，-4），
若點P在點Q的下方時，則點P的坐標為（x，-x-4），
∵點P在拋物線y=-

1

2

x²+x+4上，
∴-

1

2

x²+x+4=-x-4，
整理得，x²-4x-16=0，
解得x₁=2+2

5

，x₂=2-2

5

，
此時，點Q的坐標為（2+2

5

，-2-2

5

）或（2-2

5

，-2+2

5

）；
②OB是平行四邊形的對角線時，平行四邊形對角線的交點為（0，2），
所以，點P的坐標為（-x，x+4），
∵點P在拋物線y=-

1

2

x²+x+4上，
∴-

1

2

x²-x+4=x+4，
整理得，x²+4x=0，
解得x₁=0（舍去），x₂=-4，
此時，點Q的坐標為（-4，4），
綜上所述，點Q的坐標為（4，-4）或（2+2

5

，-2-2

5

）或（2-2

5

，-2+2

5

）或（-4，4）時，以點P、Q、B、O為頂點的四邊形是平行四邊形．

點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，不規(guī)則圖形的面積的求解，平行四邊形的性質，（1）利用拋物線交點式形式更簡便，（2）把不規(guī)則圖形轉化為規(guī)則的四邊形和三角形是解題的關鍵，（3）難點在于分情況討論．