Question

18．已知函數(shù)y=mx²-（2m-5）x+m-2的圖象與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)．
（1）求m的取值范圍，并寫出當(dāng)m取范圍內(nèi)最大整數(shù)時(shí)函數(shù)的解析式；
（2）題（1）中求得的函數(shù)記為C₁．
①當(dāng)n≤x≤-1時(shí)，y的取值范圍是1≤y≤-3n，求n的值；
②函數(shù)C₂：y=m（x-h）²+k的圖象由函數(shù)C₁的圖象平移得到，其頂點(diǎn)P落在以原點(diǎn)為圓心，半徑為$\sqrt{5}$的圓內(nèi)或圓上．設(shè)函數(shù)C₁的圖象頂點(diǎn)為M，求點(diǎn)P與點(diǎn)M距離最大時(shí)函數(shù)C₂的解析式．

Answer 1

分析 （1）函數(shù)圖形與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，則該函數(shù)為二次函數(shù)且△＞0，故此可得到關(guān)于m的不等式組，從而可求得m的取值范圍；
（2）先求得拋物線的對稱軸，當(dāng)n≤x≤-1時(shí)，函數(shù)圖象位于對稱軸的左側(cè)，y隨x的增大而減小，當(dāng)當(dāng)x=n時(shí)，y有最大值-3n，然后將x=n，y=-3n代入求解即可；
（3）先求得點(diǎn)M的坐標(biāo)，然后再求得當(dāng)MP經(jīng)過圓心時(shí)，PM有最大值，故此可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，從而可得到函數(shù)C₂的解析式．

解答 解：（1）∵函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴m≠0且[-（2m-5）]²-4m（m-2）＞0，
解得：m＜$\frac{25}{12}$且m≠0．
∵m為符合條件的最大整數(shù)，
∴m=2．
∴函數(shù)的解析式為y=2x²+x．

（2）拋物線的對稱軸為x=-$\frac{2a}$=-$\frac{1}{4}$．
∵n≤x≤-1＜-$\frac{1}{4}$，a=2＞0，
∴當(dāng)n≤x≤-1時(shí)，y隨x的增大而減�。�
∴當(dāng)x=n時(shí)，y=-3n．
∴2n²+n=-3n，解得n=-2或n=0（舍去）．
∴n的值為-2．

（3）∵y=2x²+x=2（x+$\frac{1}{4}$）²-$\frac{1}{8}$，
∴M（-$\frac{1}{4}$，-$\frac{1}{8}$）．
如圖所示：

當(dāng)點(diǎn)P在OM與⊙O的交點(diǎn)處時(shí)，PM有最大值．
設(shè)直線OM的解析式為y=kx，將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入得：-$\frac{1}{4}$k=-$\frac{1}{8}$，解得：k=$\frac{1}{2}$．
∴OM的解析式為y=$\frac{1}{2}$x．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，$\frac{1}{2}$x）．
由兩點(diǎn)間的距離公式可知：OP=$\sqrt{{x}^{2}+（\frac{1}{2}x）^{2}}$=$\sqrt{5}$，
解得：x=2或x=-2（舍去）．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，1）．
∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)M距離最大時(shí)函數(shù)C₂的解析式為y=2（x-2）²+1．

點(diǎn)評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用一元二次方程根的判別式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，找出PM取得最大值的條件是解題的關(guān)鍵．