Question

在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)A、C分別在x、y軸的正半軸上．反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象分別交邊AB、BC于D、E，交對(duì)角線OB于F．

（1）如圖甲，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，3），若點(diǎn)F是OB的中點(diǎn)，則k=

 

，

BD

BE

=

 

．
（2）如圖乙，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m，n），
①試探尋線段BD與BE的長(zhǎng)度關(guān)系，并說(shuō)明理由；
②設(shè)直線DE分別與x軸、y軸交與點(diǎn)G、H，試探尋線段DG與EH的長(zhǎng)度關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)頂點(diǎn)B的坐標(biāo)和點(diǎn)F是OB的中點(diǎn)，得出點(diǎn)F的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)F在反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象上，求出反比例函數(shù)的解析式，從而求出BD、BE的長(zhǎng)，再代入計(jì)算即可得出答案．
（2）①根據(jù)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m，n），表示出點(diǎn)D的坐標(biāo)和點(diǎn)E的坐標(biāo)，從而得出AD=

k

m

，EC=

k

n

，再根據(jù)BD=AB-AD和BE=BC-CE，求出

BD

BE

，即可得出答案；
②根據(jù)

DG

DE

=

AD

BD

=

k

mn-k

和

HE

DE

=

CE

DE

=

k

mn-k

，即可得出DG=HE．

解答：解：（1）∵頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，3），點(diǎn)F是OB的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為：（2，

3

2

），
∵點(diǎn)F在反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象上，
∴k=xy=2×

3

2

=3，
∴當(dāng)x=4時(shí)，y=

3

4

，
即AD=

3

4

，
∴BD=AB-AD=3-

3

4

=

9

4

，
當(dāng)y=3時(shí)，x=

3

3 2

=2，
∴CE=2，
∴BE=BC-CE=4-2=2，
∴

BD

BE

=

9

8

；
故答案為：3；

9

8

；

（2）①∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m，n），
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是（m，

k

m

），點(diǎn)E的坐標(biāo)是（

k

n

，n），
∴AD=

k

m

，EC=

k

n

，
∴BD=AB-AD=n-

k

m

，BE=BC-CE=m-

k

n

，
∴

BD

BE

=

n- k m

m- k n

=

mn2-nk

m2n-mk

，
②∵

DG

DE

=

AD

BD

=

k m

n- k m

=

k

mn-k

，

HE

DE

=

CE

DE

=

k n

m- k n

=

k

mn-k

，
∴

DG

DE

=

HE

DE

，
∴DG=HE．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了反比例函數(shù)的綜合，用到的知識(shí)點(diǎn)是反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)，關(guān)鍵是用m、n、k表示出線段的長(zhǎng)度．