Question

6．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點，點A，D在坐標(biāo)軸上，且點A的坐標(biāo)為（-4，0），∠OAD=60°．
（1）求點D的坐標(biāo)；
（2）如圖2，點B為線段AD的中點，連接OB，以O(shè)為旋轉(zhuǎn)中心，將△OAB沿順時針方向旋轉(zhuǎn)得到△OCB，試確定旋轉(zhuǎn)角度并判斷四邊形OABC的形狀；
（3）過點D有一條直線平分四邊形OABC的面積，試求出這條直線的表達(dá)式．

Answer 1

分析 （1）通過解直角三角形OAD得到線段OD的長度，易得點D的坐標(biāo)；
（2）由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半和等邊三角形的判定定理易得△OAB為等邊三角形，則根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到△OAB與△OCB全等，易得旋轉(zhuǎn)角為60°，四邊形OABC為菱形；
（3）平分四邊形OABC的面積的直線一定經(jīng)過其中心，所以利用待定系數(shù)法來求該直線的表達(dá)式．

解答 解：（1）如圖1，∵點A的坐標(biāo)為（-4，0），
∴OA=4．
又∵∠OAD=60°，
∴OD=OA•tan60°=4$\sqrt{3}$，
則D（0，4$\sqrt{3}$）；

（2）旋轉(zhuǎn)角為60°，且四邊形OABC為菱形．理由如下：
如圖2，∵點B為線段AD的中點，
∴OB=AB．
又∵∠OAD=60°，即∠OAB=60°，
∴△ABO是等邊三角形，
∵將△OAB沿順時針方向旋轉(zhuǎn)得到△OCB，
∴△OAB≌△OBC，
∴△OBC是等邊三角形，
∴OA=OC=AB，∠AOB=∠BOC=60°，即旋轉(zhuǎn)角為60°．
∴∠BAO+∠AOC=180°，
∴AB∥OC，
∴四邊形OABC為菱形；

（3）如圖2，連接AC，AC與BO的交點為M．
∵A（-4，0），D（0，4$\sqrt{3}$），點B為線段AD的中點，
∴B（-2，2$\sqrt{3}$）．
∴M（-1，$\sqrt{3}$）．
∵過點D有一條直線平分四邊形OABC的面積，
∴該直線經(jīng)過點D、M．
設(shè)直線DM的解析式為y=kx+b（k≠0）．
則$\left\{\begin{array}{l}{b=4\sqrt{3}}\\{-k+b=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=3\sqrt{3}}\\{b=4\sqrt{3}}\end{array}\right.$．
故該直線的解析式為：y=3$\sqrt{3}$x+4$\sqrt{3}$x．

點評 本題綜合考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，菱形的判定，等邊三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用以及平行四邊形的面積等知識點，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到△OAB與△OCB都是等邊三角形的解題的突破口．