Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，sin∠CAB=

4

5

，D是斜邊AB上一點，過點A作AE⊥CD，垂足為E，AE交直線BC于點F．
（1）當tan∠BCD=

1

2

時，求線段BF的長；
（2）當點F在邊BC上時，設AD=x，BF=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，及其定義域；
（3）當BF=

5

4

時，求線段AD的長．

Answer 1

分析：（1）由題意先求出AC，BC的長，由AE⊥CD和∠ACB=90°，證明出∠CAF=∠BCD，再由tan∠BCD=

1

2

，可知tan∠CAF=tan∠BCD=

1

2

，求得CF，從而求得線段BF的長；
（2）通過分析，作輔助線，過點B作BG∥AC，交CD延長線于點G，根據(jù)平行線的性質(zhì)得：

BG

AC

=

BD

AD

，再由（1）得

BG

BC

=

CF

AC

，根據(jù)以上兩個式子求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，
（3）分兩種情況：①當點F在線段BC上時，②當點F在CB延長線上時，求得線段AD的長為

9

4

或

3

2

．

解答：解：（1）在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，sin∠CAB=

4

5

，
∴BC=4，AC=3，（1分）
∵AE⊥CD，∠ACB=90°，
∴∠BCD+∠AFC=90°，∠AFC+∠CAF=90°，
∴∠CAF=∠BCD（2分）
∴tan∠CAF=tan∠BCD=

1

2

，
又∵∠ACB=90°，AC=3，
∴CF=

3

2

，BF=

5

2

（1分）

（2）過點B作BG∥AC，交CD延長線于點G，（1分）

∴

BG

AC

=

BD

AD

，即

BG

3

=

(5-x)

x

①（1分）
在Rt△ACF與Rt△CBG中，
由（1）得tan∠CAF=tan∠BCD，

∴

BG

BC

=

CF

AC

，即

BG

4

=

(4-y)

3

，②（1分）
由①②得

4(4-y)

3

=

3(5-x)

x

，y=

25x-45

4x

=

25

4

-

45

4x

(

9

5

≤x≤5)（2分）

（3）1°當點F在線段BC上時，
把y=

5

4

代入y=

25

4

-

45

4x

解得x=

9

4

，（2分）
2°當點F在CB延長線上時，
設AD=x，由（2）同理可得

4(4+ 5 4 )

3

=

3(5-x)

x

，解得x=

3

2

（2分）
綜上所述當BF=

5

4

時，線段AD的長為

9

4

或

3

2

（1分）

點評：本題主要考查了三角函數(shù)的應用，用到了分類討論的思想，是一道綜合題難度大．