Question

（1）如圖1，四邊形ABCD是矩形，E為AD上一點，且BE=ED，P為對角線BD上一點，PF⊥BE于點F，PG⊥AD于點G．判斷PF、PG和AB的數(shù)量關(guān)系并說明理由．
（2）如圖2，當(dāng)四邊形ABCD變?yōu)槠叫兴倪呅�，其他條件不變，若∠ABC=60°，判斷PF、PG和AB的數(shù)量關(guān)系并說明理由．
（3）如圖3，當(dāng)四邊形ABCD滿足∠ABD=90°，AB=3，BD=4，其它條件不變，判斷PF、PG和AB的數(shù)量關(guān)系并說明理由．

Answer 1

考點：矩形的性質(zhì),平行四邊形的性質(zhì),解直角三角形

專題：

分析：（1）延長GP交BC于點H，根據(jù)矩形性質(zhì)AD∥BC，求出∠CBD=∠EBD，根據(jù)角平分線性質(zhì)得出PF=PH，即可得出答案；
（2）過點A作AK⊥BC于點K，延長GP交BC于點H，根據(jù)在Rt△ABK中∠ABK=60°得出AK=ABsin60°=

3

2

AB，即可得出答案；
（3）連接PE，過點B作BK⊥AD于點K，根據(jù)三角形面積求出PF+PG=BK，根據(jù)勾股定理求出AD=5，根據(jù)三角形面積求出BK=2.4，求出

BK

AB

的值，即可得出答案．

解答：解：（1）PF+PG=AB，
理由：延長GP交BC于點H，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
又∵EB=ED，
∴∠ADB=∠EBD，
∴∠CBD=∠EBD，
∴BP平分∠EBC
∵PG⊥AD，AD∥BC，
∴GH⊥BC，GH=AB，
∵PF⊥BE，PH⊥BC，
∴PF=PH
∴PF+PG=PH+PG=GH=AB；

（2）PF+PG=

3

2

AB，
理由：過點A作AK⊥BC于點K，延長GP交BC于點H，
由（1）可知易證PG+PF=GH=AK，
在Rt△ABK中，∠ABK=60°，
∴AK=ABsin60°=

3

2

AB，
∴PG+PF=

3

2

AB；

（3）PG+PF=

4

5

AB，
理由：連接PE，過點B作BK⊥AD于點K，
∵BE=DE，
∴S_△BED=S_△BEP+S_△DEP=

1

2

BE×PF+

1

2

DE×PG=

1

2

DE（PF+PG）=

1

2

DE×BK，
∴PF+PG=BK，
在Rt△ABD中，AB=3，BD=4，
∴AD=5，
∵S_△ABD=

1

2

AB×BD=6=

1

2

AD×BK=

1

2

×5×BK，
∴BK=2.4，
∴

BK

AB

=

2.4

3

=

4

5

，
∴BK=

4

5

AB，
∴PF+PG=

4

5

AB．

點評：本題考查了矩形的性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，三角形的面積，角平分線性質(zhì)等知識點的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力，題目比較好，難度偏大．