Question

【題目】我們規(guī)定：對于已知線段，若存在動點(diǎn)（點(diǎn)不與、重合），始終滿足，則稱是“雅動三角形”，其中，點(diǎn)為“雅動點(diǎn)”，為它的“雅動值”．

圖1 圖2 圖3

（1）如圖1，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)是，的“雅動值”為，當(dāng)時(shí)，請直接寫出這個三角形的周長；

（2）如圖2，已知四邊形是矩形，點(diǎn)、的坐標(biāo)分別是、，直線（且）交、軸于、兩點(diǎn)，連接、并延長交于點(diǎn)，問：是否為“雅動三角形”？如果是，請求出它的“雅動值”；如果不是，請說明理由；

（3）如圖3，已知（是常數(shù)且），點(diǎn)是平面內(nèi)一動點(diǎn)且滿足，若、的平分線交于點(diǎn)，問：點(diǎn)的運(yùn)動軌跡長度是否為定值？如果是，請求出它的軌跡長度；如果不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）是“雅動三角形”，”雅動值”是；（3）點(diǎn)的運(yùn)動軌跡長度為定值，定值為.

【解析】

(1)如圖1中，作于．根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)解決問題即可．

（2）由一次函數(shù)解析式求出AB點(diǎn)坐標(biāo)（用含b的式子表示）再利用線段比證明三角形相似，然后利用相似三角形的性質(zhì)證明即可．

（3）構(gòu)造過A、B、D三點(diǎn)的圓，證明D在圓周上，求出圓心角，半徑，利用弧長公式計(jì)算，即可解決問題．

解：（1）如圖1中，作于．

，

，

，，

，

，

，

的周長為．

故答案為：.

（2）結(jié)論：是“雅動三角形”，”雅動值”是．

如圖2中，

點(diǎn)、的坐標(biāo)分別是、，

，，

對于直線，令，得到，令，得到，

，

，

，

，

，，

，

，

，

直線且交、軸于、兩點(diǎn)，連接、并延長交于點(diǎn)，

是“雅動三角形”，”雅動值”是．

（3）點(diǎn)的運(yùn)動軌跡長度為定值，運(yùn)動路徑的長．

理由如下：

如圖3中，以為邊向下作等邊，以為圓心，為半徑作，在上三點(diǎn)下方取一點(diǎn)，連接，．

，平分，平分，

，

，

，

，，，四點(diǎn)共圓，

點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是，

點(diǎn)的運(yùn)動軌跡長度為定值，運(yùn)動路徑的長．