Question

8．如圖，已知拋物線經過點A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點．
（1）求拋物線的解析式．
（2）點M是線段BC上的點（不與B，C重合），過M作MN∥y軸交拋物線于N，交x軸于點H，若點H的坐標為（m，0）．
①用m的代數式表示點M的坐標和點N的坐標．
②若M為線段NH的中點，求m的值．

Answer 1

分析 （1）由A、B點坐標設拋物線交點式，將點C坐標代入求解可得；
（2）①根據B、C點坐標求直線BC解析式，根據MN∥y軸交拋物線于N，交x軸于H，且點H的坐標為（m，0），由直線解析式可得點M坐標，由拋物線解析式可得N坐標；
②由M為線段NH的中點可得NM=MH，列出關于m的方程組，解方程組可得m的值，根據m的范圍取舍后即可．

解答 解：（1）設拋物線解析式為y=a（x+1）（x-3），
將點C（0，3）代入，得：-3a=3，
解得：a=-1，
∴y=-（x+1）（x-3）=-x²+2x+3；

（2）①設直線BC的解析式為：y=kx+b，
將點B（3，0）、C（0，3）代入，得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直線BC解析式為y=-x+3，
∵MN∥y軸，點H的坐標為（m，0）．
∴點M坐標為（m，-m+3），點N坐標為（m，-m²+2m+3），其中0＜m＜3；
②∵M為線段NH的中點，
∴NM=MH，即-m²+2m+3-（-m+3）=-m+3，
整理，得：m²-4m+3=0，
解得：m=1或m=3
∵0＜m＜3，
∴m=1．

點評 本題主要考查待定系數法求拋物線、直線解析式及中點的定義，待定系數法求出拋物線與直線解析式是解題前提，根據中點的定義列出關于m的方程是解題關鍵．