Question

如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的一點，過點A作AD⊥CD于點D，交⊙O于點E，且=．

（1）求證：CD是⊙O的切線；

（2）若tan∠CAB=，BC=3，求DE的長．

Answer 1

（1）證明：連結OC，如圖，

∵=，

∴∠1=∠2，

∵OC=OA，

∴∠1=∠OCA，

∴∠2=∠OCA，

∴OC∥AD，

∵AD⊥CD，

∴OC⊥CD，

∴CD是⊙O的切線；

（2）解：連結BE交OC于F，如圖，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

在Rt△ACB中，tan∠CAB==，

而BC=3，

∴AC=4，

∴AB==5，

∵∠1=∠2，

∴Rt△ABC∽Rt△ACD，

∴=，即=，解得AD=，

∵=，即=，解得CD=，

∵=，

∴OC⊥BE，BF=EF，

∴四邊形DEFC為矩形，

∴EF=CD=，

∴BE=2EF=，

∵AB為直徑，

∴∠BEA=90°，

在Rt△ABE中，AE===，

∴DE=AD﹣AE=﹣=．