Question

拋物線y=-x²+2bx-（2b-1）（b為常數(shù)）與x軸相交于A（x₁，0），B（x₂，0）（x₂＞x₁＞0）兩點，設(shè)OA•OB=3（O為坐標系原點）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)拋物線的頂點為C，拋物線的對稱軸交x軸于點D，求證：點D是△ABC的外心；
（3）在拋物線上是否存在點P，使S_△ABP=1？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）解：由題意，得x₁•x₂=2b-1．
∵OA•OB=3，OA=x₁OB=x₂，
∴x₁•x₂=3．
∴2b-1=3．
∴b=2．
∴所求的拋物線解析式是：y=-x²+4x-3．

（2）證明：如圖，
∵y=-x²+4x-3=-（x-2）²+1，
∴頂點C（2，1），D（2，0），CD=1．
令y=0，得-x²+4x-3=0．
解得x₁=1，x₂=3．
∴A（1，0），B（3，0），AD=DB=1．
∴AD=DC=DB．
∴D為△ABC的外心．

（3）解法一：設(shè)拋物線存在點P（x，y），使S_△ABP=1．
由（2）可求得AB=3-1=2．
∴S_△ABP=AB•|y|=×2•|y|=1．
∴y=±1．
當y=1時，-x²+4x-3=1，解得x₁=x₂=2．
當y=-1時，-x²+4x-3=-1，解得x=2±．
∴存在點P，使S_△ABP=1．
點P的坐標是（2，1）或（2+，-1）或
（2-，-1）．
解法二：由（2）得S_△ABC=AB•CD=×2×1=1．
∴頂點C（2，1）是符合題意的一個點．
另一方面，直線y=-1上任一點M，能使S_△AMB=1，
把直線y=-1代入拋物線解析式，得-x²+4x-3=-1．
解得x=2±．
∴存在點P，使S_△ABP=1．
點P的坐標是（2，1）或（2+，-1）或（2-，-1）．
分析：（1）∵OA•OB=3，即x₁•x₂=3，由根與系數(shù)關(guān)系可求b，確定拋物線解析式；
（2）根據(jù)拋物線的對稱性可得DA=DB，只要證明AD=CD即可，求出拋物線的頂點C坐標和兩交點A、B坐標即可解答本題；
（3）由于AB=2，∴△ABC的AB邊上高是1，可知P點縱坐標為1或者-1，分別代入拋物線解析式，可求P點橫坐標．
點評：本題考查了用根與系數(shù)關(guān)系求二次函數(shù)解析式，三角形外心的判斷方法及三角形面積問題，具有較強的綜合性．