Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝kx﹣與拋物線y＝ax2+bx+交于點(diǎn)A、C，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為﹣8．

（1）請直接寫出直線和拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)D是直線AB上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、C重合），作DE⊥AC于點(diǎn)E．設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m．求DE的長關(guān)于m的函數(shù)解析式，并寫出DE長的最大值；

（3）平移△AOB，使平移后的三角形的三個(gè)頂點(diǎn)中有兩個(gè)在拋物線上，請直接寫出平移后的點(diǎn)A對應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）DE的最大值為5；（3）點(diǎn)A′（﹣， ）或（﹣2，3）

【解析】

(1)將點(diǎn)A,C坐標(biāo)代入一次函數(shù)與二次函數(shù)表達(dá)式,即可解題,

（2）根據(jù)DE= DFsin∠DFE＝·（﹣m2﹣m+4）＝﹣（m+3）2+5即可求解,

（3）分別設(shè)出平移后的點(diǎn)A,B,O的坐標(biāo),根據(jù)有兩個(gè)點(diǎn)在二次函數(shù)圖形上,代入解方程組即可解題.

（1）將點(diǎn)A坐標(biāo)代入直線表達(dá)式得：0＝2k﹣，解得：k＝，

故一次函數(shù)表達(dá)式為：y＝x﹣，則點(diǎn)C坐標(biāo)為（﹣8，﹣），

同理，將點(diǎn)A、C的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式并解得二次函數(shù)表達(dá)式為：；

（2）作DF∥y軸交直線AB于點(diǎn)F，

∴∠DFE＝∠OBA，（同角的余角相等）

設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，則點(diǎn)D（m，﹣m2﹣m+），點(diǎn)F（m，m﹣），

DF＝﹣m2﹣m+﹣（m﹣）＝﹣m2﹣m+4，

AB＝＝，sin∠DFE＝sin∠OBA＝，

∴DE＝DFsin∠DFE＝·（﹣m2﹣m+4）＝﹣（m+3）2+5，

故：DE的最大值為5；

（3）設(shè)三角形向左平移m個(gè)、向上平移n個(gè)單位時(shí)，三角形有2個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上，

①當(dāng)平移后點(diǎn)A和O在拋物線上時(shí)，

則平移后點(diǎn)A、O的坐標(biāo)分別為（2﹣m，n）、（﹣m，n），

將上述兩個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得：

解得：m＝，n=,

②當(dāng)平移后點(diǎn)A和B在拋物線上時(shí)，平移后點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（2﹣m，n）、（﹣m，n-），

同理可得：點(diǎn)A′（﹣2，3），

即點(diǎn)A′（﹣， ）或（﹣2，3）．