Question

已知：直角坐標(biāo)系xoy中，將直線y=kx沿y軸向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后恰好經(jīng)過(guò)B（-3，0）及y軸上的C點(diǎn)．若拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)），且經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，
（1）求直線BC及拋物線的解析式；
（2）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D，點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上，且∠APD=∠ACB，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)y=kx沿y軸向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后經(jīng)過(guò)y軸上的點(diǎn)C求出C點(diǎn)的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，再根據(jù)拋物線y=-x²+bx+c過(guò)點(diǎn)B，C，把B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入所設(shè)函數(shù)解析式即可求出此解析式；
（2）根據(jù)（1）中二次函數(shù)的解析式可求出A、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)，判斷出△OBC是等腰直角三角形，利用銳角三角函數(shù)的定義可求出∠OBC的度數(shù)，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，利用勾股定理可求出BE、AE及CE的長(zhǎng)，再根據(jù)相似三角形的判定定理可得出△AEC∽△AFP，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可求出PF的長(zhǎng)，再點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵y=kx沿y軸向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后經(jīng)過(guò)y軸上的點(diǎn)C，
∴此時(shí)直線的解析式為y=kx-3，令x=0，則y=-3，
∴C（0，-3）（1分）
設(shè)直線BC的解析式為y=kx-3．（1分）
∵B（-3，0）在直線BC上，
∴-3k-3=0解得k=-1．
∴直線BC的解析式為y=-x-3．（1分）
∵拋物線y=-x²+bx+c過(guò)點(diǎn)B，C，
∴

-9-3b+c=0 c=-3

（2分）
解得

b=-4 c=-3

，
∴拋物線的解析式為y=-x²-4x-3；（1分）

（2）由y=-x²-4x-3．可得D（-2，1），A（-1，0）．（1分）
∴OB=3，OC=3，OA=1，AB=2，
可得△OBC是等腰直角三角形．
∴∠OBC=45°，CB=3

2

．（1分）
設(shè)拋物線對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)F，
∴AF=

1

2

AB=1．
過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E．
∴∠AEB=90°．
可得BE=AE=

2

，CE=2

2

，（1分）
在△AEC與△AFP中，∠AEC=∠AFP=90°，∠ACE=∠APF，
∴△AEC∽△AFP．（1分）
∴

AE

AF

=

CE

PF

，

2

1

=

2 2

PF

，
解得，PF=2，
∵點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2，-2），（-2，2）．（2分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到用待定系數(shù)法求一次函數(shù)及二次函數(shù)的解析式、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、特殊角度的三角函數(shù)值及相似三角形的判定與性質(zhì)，涉及面較廣，難度較大．