Question

【題目】如圖，等腰直角△ABC，OC＝2，拋物線y＝ax2+c過A，B，C三點，D為拋物線上一點，連接BD且tan∠DBC＝．

（1）求直線BD和拋物線所表示的函數解析式．

（2）如果在拋物線上有一點E，使得S△EBC＝S△ABD，求這時E點坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或或或

【解析】

(1)根據題意得到A(0,2)，B(2,0)，C(2,0)，根據待定系數法即可求得拋物線的解析式，設BD與y軸的交點為M，由tan∠DBC＝，求得M的坐標為(0,1)，根據待定系數法即可求得直線BD的解析式；
(2)解析式聯(lián)立求得D的坐標，然后根據S△ABD＝S△ABM+S△ADM求得△EBC面積，根據面積公式求得E的縱坐標，把縱坐標代入拋物線解析式即可求得橫坐標，得到E的坐標．

（1）等腰直角△ABC，OC＝2，

∴OA＝OB＝OC＝2，

∴A（0，2），B（﹣2，0），C（2，0），

∵拋物線y＝ax2+c過A，B，C三點，

∴，解得，

∴拋物線的解析式為y＝﹣+2；

∵tan∠DBC＝，

設BD與y軸的交點為M，

∴＝，

∴OM＝2×＝1，

∴M（0，1），

設直線BD的解析式為y＝kx+b，

把B（﹣2，0），M（0，1）代入得，

解得，

∴直線BD的解析式為y＝+1；

（2）解得或，

∴D（1，），

∴S△ABD＝S△ABM+S△ADM＝×（2﹣1）×2+（2﹣1）×＝，

∵S△EBC＝S△ABD，

∴BC|yE|＝，即|yE|＝，

∴|yE|＝，

∴E的縱坐標為±，

把y＝代入y＝﹣+2得，＝﹣+2，

解得x＝±，

把y＝﹣代入y＝﹣+2得，﹣＝﹣+2，

解得x＝±，

∴E點的坐標為（，）或（﹣，）或（，﹣）或（﹣，﹣）．