Question

13．如圖，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，點(diǎn)P沿AB邊從A向B以2cm/s的速度移動(dòng)；點(diǎn)Q沿DA邊從D向A以1cm/s的速度移動(dòng)．如果P，Q同時(shí)出發(fā)，用t（s）表示移動(dòng)時(shí)間（0≤t≤6），那么：
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，△QAP為等腰直角三角形？
（2）在點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，四邊形QAPC的面積變化嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，以點(diǎn)A，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？

Answer 1

分析 （1）利用等腰直角三角形的判定方法得到AQ=AP，即6-t=2t，然后解方程求出t即可；
（2）利用面積的和差可計(jì)算出四邊形QAPC的面積=36，從而可判斷四邊形QAPC的面積不變化；
（3）討論：利用相似三角形的判定方法，當(dāng)$\frac{AQ}{BC}$=$\frac{AP}{BA}$時(shí)，△AQP∽△BCA或當(dāng)$\frac{AQ}{BA}$=$\frac{AP}{BA}$時(shí)，△AQP∽△BAC，然后利用相似比分別得到關(guān)于t的方程，然后解方程求出t即可．

解答 解：（1）AP=2t，DQ=t，則AQ=AD-DQ=6-t，
當(dāng)AQ=AP時(shí)，△QAP為等腰直角三角形，即6-t=2t，解得t=3，
所以當(dāng)t為3s時(shí)，△QAP為等腰直角三角形；
（2）在點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，四邊形QAPC的面積不變化．
理由如下：四邊形QAPC的面積=S_矩形ABCD-S_△PBC-S_△CDQ=6×12-$\frac{1}{2}$×（12-2t）×6-$\frac{1}{2}$×12×t=36；
（3）∵∠QAP=∠ABC=90°，
∴當(dāng)$\frac{AQ}{BC}$=$\frac{AP}{BA}$時(shí)，△AQP∽△BCA，
即$\frac{6-t}{6}$=$\frac{2t}{12}$，解得t=3；
當(dāng)$\frac{AQ}{BA}$=$\frac{AP}{BA}$時(shí)，△AQP∽△BAC，
即$\frac{6-t}{12}$=$\frac{2t}{6}$，解得t=$\frac{6}{5}$，
綜上所述，當(dāng)t為3s或$\frac{6}{5}$s時(shí)，以點(diǎn)A，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的綜合題：熟練掌握矩形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)．會(huì)利用代數(shù)法解決動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，利用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題．