Question

11．拋物線y=ax²+bx+c的頂點(diǎn)為D（-1，2），與x軸的一個(gè)交點(diǎn)A在點(diǎn)（-3，0）和（-2，0）之間，其部分圖象如圖，則以下結(jié)論不正確的是（　�。�

• A． b²-4ac＜0
• B． a+b+c＜0
• C． c-a=2
• D． 方程ax²+bx+c-2=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

Answer 1

分析 由拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)得到b²-4ac＞0；有拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)得到拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-1，則根據(jù)拋物線的對(duì)稱性得拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)（0，0）和（1，0）之間，所以當(dāng)x=1時(shí)，y＜0，則a+b+c＜0；由拋物線的頂點(diǎn)為D（-1，2）得a-b+c=2，由拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-$\frac{2a}$=-1得b=2a，所以c-a=2；根據(jù)二次函數(shù)的最大值問題，當(dāng)x=-1時(shí)，二次函數(shù)有最大值為2，即只有x=-1時(shí)，ax²+bx+c=2，所以說方程ax²+bx+c-2=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．

解答 解：∵拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴b²-4ac＞0，所以A錯(cuò)誤；
∵頂點(diǎn)為D（-1，2），
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-1，
∵拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)A在點(diǎn)（-3，0）和（-2，0）之間，
∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)（0，0）和（1，0）之間，
∴當(dāng)x=1時(shí)，y＜0，
∴a+b+c＜0，所以B正確；
∵拋物線的頂點(diǎn)為D（-1，2），
∴a-b+c=2，
∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-$\frac{2a}$=-1，
∴b=2a，
∴a-2a+c=2，即c-a=2，所以C正確；
∵當(dāng)x=-1時(shí)，二次函數(shù)有最大值為2，
即只有x=-1時(shí)，ax²+bx+c=2，
∴方程ax²+bx+c-2=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以D正確．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系：二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象為拋物線，當(dāng)a＞0，拋物線開口向上；對(duì)稱軸為直線x=-$\frac{2a}$；拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，c）；當(dāng)b²-4ac＞0，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b²-4ac=0，拋物線與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b²-4ac＜0，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)．