Question

12．如圖，在等邊三角形ABC中，AD、CE分別是BC、AB邊上的高，且AD、CE相交于點(diǎn)F．
（1）求∠AFE的度數(shù)；
（2）若點(diǎn)D、E分別在BC、AB上運(yùn)動，要想使結(jié)論（1）成立，請你猜想一下BD與AE應(yīng)滿足什么數(shù)量關(guān)系？并給出證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊三角形三線合一的性質(zhì)和高的性質(zhì)即可證得∠AFE=60°；
（2）由∠AFE=60°=∠BAC，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出∠BAD=∠ACE，然后根據(jù)AAS證得△ABD≌△CAE即可證得BD=AE．

解答 解：（1）∵在等邊三角形ABC中，AD、CE分別是BC、AB邊上的高，
∴∠BAD=∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°，∠AEC=90°，
∴∠AFE=90°-∠EAF=90°-30°=60°；
（2）BD=AE，
∵△ABC是等邊△ABC，
∴∠B=∠BAC=60°，AB=BC，
∵∠AFE=60°，
∠AFE=∠BAC，
∵∠BEC=∠ACE+∠BAC=∠BAD+∠FAE，
∴∠BAD=∠ACE，
在△ABD和△CAE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAD=∠ACE}\\{∠ABD=∠EAC}\\{AB=AC}\end{array}\right.$
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD=AE．

點(diǎn)評 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．