Question

3．求方程組$\left\{\begin{array}{l}{x+y+z=3}\\{{x}^{3}+{y}^{3}+{z}^{3}=3}\end{array}\right.$的所有整數(shù)解．

Answer 1

分析 原方程組化為x+y=3-z③和x³+y³=3-z³④，由③④得出xy=$\frac{8-9z+3{z}^{2}}{3-z}$⑥，把x，y看成是以下二次方程的兩個(gè)整數(shù)根：t²-（3-z）t+$\frac{8-9z+3{z}^{2}}{3-z}$=0，用求根公式解方程，再判斷△為整數(shù)時(shí)，z為整數(shù)時(shí)的可能，進(jìn)而得出對(duì)應(yīng)的整數(shù)x，y．

解答 解：$\left\{\begin{array}{l}{x+y+z=3①}\\{{x}^{3}+{y}^{3}+{z}^{3}=3②}\end{array}\right.$，
①化為：x+y=3-z③，
②化為：x³+y³=3-z³④
③³-④，化簡(jiǎn)得，xy（x+y）=8-9z+3z²⑤
①代入⑤，可化簡(jiǎn)得，xy=$\frac{8-9z+3{z}^{2}}{3-z}$⑥，
由③、⑥知，x、y是以下二次方程的兩個(gè)整數(shù)根：t²-（3-z）t+$\frac{8-9z+3{z}^{2}}{3-z}$=0，
∴t=$\frac{（3-z）±\sqrt{（3-z）^{2}-4×\frac{8-9z+3{z}^{2}}{3-z}}}{2}$
而△=$（3-z）^{2}-4×\frac{8-9z+3z2}{3-z}=（z-1）^{2}×\frac{z+5}{z-3}$=（z-1）²×（1+$\frac{8}{z-3}$）
∵x，y，z是整數(shù)，
∴t是整數(shù)，
∴（z-1）²×（1+$\frac{8}{z-3}$）是整數(shù)，
∴Ⅰ、當(dāng)z-1=0時(shí)，即：z=1時(shí)，x=y=1；
Ⅱ、當(dāng)z-3=1時(shí)，即：z=4時(shí)，x=4，y=-5或x=-5，y=4；
Ⅲ、當(dāng)z-3=-8時(shí)，即：z=-5時(shí)，x=y=4，
∴方程組$\left\{\begin{array}{l}{x+y+z=3}\\{{x}^{3}+{y}^{3}+{z}^{3}=3}\end{array}\right.$的所有整數(shù)解有四組，$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\\{z=1}\end{array}\right.$   或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=-5}\\{z=4}\end{array}\right.$  或$\left\{\begin{array}{l}{x=-5}\\{y=4}\\{z=4}\end{array}\right.$   或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=4}\\{z=-5}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 此題是非不定一次不定方程組，主要考查了一元二次方程的解法，滿足整數(shù)解得條件，解本題的關(guān)鍵是將x，y作為一個(gè)一元二次方程的整數(shù)解，難點(diǎn)是△的化簡(jiǎn)處理，計(jì)算量比較大，是一道難度比較大的競(jìng)賽題．