Question

如圖甲，在△ABC中，∠ACB為銳角，點(diǎn)D為射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF。
解答下列問(wèn)題：

（1）如果AB=AC，∠BAC=90°。
①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)（與點(diǎn)B不重合），如圖乙，線段CF、BD之間的位置關(guān)系為_(kāi)_____，數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_____ ；
②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖丙，①中的結(jié)論是否仍然成立，為什么？
（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)．試探究：當(dāng)△ABC滿(mǎn)足一個(gè)什么條件時(shí)，CF⊥BC（點(diǎn)C、F重合除外）？畫(huà)出相應(yīng)圖形，并說(shuō)明理由；（畫(huà)圖不寫(xiě)作法）
（3）若AC=，BC=3，在（2）的條件下，設(shè)正方形ADEF的邊DE與線段CF相交于點(diǎn)P，求線段CP長(zhǎng)的最大值．

Answer 1

解：（1）①垂直；相等； ②當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)①的結(jié)論仍成立． 由正方形ADEF得，AD=AF，∠DAF=90°， ∵∠BAC=90°， ∴∠DAF=∠BAC， ∴∠DAB=∠FAC， 又AB=AC， ∴△DAB≌△FAC， ∴CF=BD，∠ACF=∠ABD， ∵∠BAC=90°， AB=AC， ∴∠ABC=45°， ∴∠ACF=45°， ∴∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90°，即 CF⊥BD。
（2）畫(huà)圖正確，　　　　　　　 當(dāng)∠BCA=45o時(shí)，CF⊥BD（如圖�。�， 理由是：過(guò)點(diǎn)A作AG⊥AC交BC于點(diǎn)G，∴AC=AG， 可證：△GAD≌△CAF， ∴∠ACF=∠AGD=45o ，∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90o， 即CF⊥BD。
（3）當(dāng)具備∠BCA=45o時(shí)， 過(guò)點(diǎn)A作AQ⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，（如圖戊） ∵DE與CF交于點(diǎn)P時(shí)，∴此時(shí)點(diǎn)D位于線段CQ上， ∵∠BCA=45o，可求出AQ=CQ=4， 設(shè)CD=x， ∴DQ=4-x， 容易說(shuō)明△AQD∽△DCP， ∴， ∴， ∴， ∵0＜x≤3， ∴當(dāng)x=2時(shí)，CP有最大值1。