Question

（2010•北侖區(qū)模擬）如圖，AB是半圓O的直徑，C、D、E三點(diǎn)在半圓上，H、K是直徑AB上的點(diǎn)，若∠AHC=∠DHB，∠DKA=∠EKB，已知弧AC為30°，弧BE為70°，則∠HDK=（ ）

A．30°
B．40°
C．70°
D．80°

Answer 1

【答案】分析：如果將半圓O補(bǔ)全，得圓O．過點(diǎn)D作DF⊥AB于P，交⊙O于F，連接HF、FK．首先由垂徑定理，可得DP=FP，則AB是DF的垂直平分線，由線段的垂直平分線的性質(zhì)得出HD=HF，KD=KF，再由等腰三角形的性質(zhì)可得∠HDF=∠HFD，∠KDF=∠KFD．然后根據(jù)平角的定義證明C、H、F三點(diǎn)共線，E、K、F三點(diǎn)共線．從而∠HDK=∠CFE，最后由圓周角定理求出∠HDK的度數(shù)．
解答：解：將半圓O補(bǔ)全，得圓O．過點(diǎn)D作DF⊥AB于P，交⊙O于F，連接HF、FK．
∵DF⊥AB于P，AB是圓O的直徑，
∴DP=FP，
∴AB是DF的垂直平分線，
∴HD=HF，KD=KF，
∴∠HDF=∠HFD，∠KDF=∠KFD．
∵HD=HF，DP=FP，
∴∠FHB=∠DHB，
∵∠AHC=∠DHB，
∴∠FHB=∠AHC，
∴∠AHC+∠AHF=∠FHB+∠AHF=180°，
∴C、H、F三點(diǎn)共線．
同理，E、K、F三點(diǎn)共線．
∴∠HDK=∠HDF+∠KDF=∠HFD+∠KFD=∠CFE，
又∵弧AC為30°，弧BE為70°，
∴弧CE為180°-30°-70°=80°，
∴∠CFE=×80°=40°，
∴∠HDK=40°．
故選B．
點(diǎn)評：本題主要考查了垂徑定理，線段垂直平分線、等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理及三點(diǎn)共線的證明方法．綜合性強(qiáng)，有一定難度．