Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax²＋bx＋3的頂點(diǎn)為M（2，－1），交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，其中點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）.

（1）求該拋物線的解析式；
（2）設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)C的直線與該拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為D，且直線CD和直線CA關(guān)于直線BC對(duì)稱，求直線CD的解析式；
（3）在該拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)P，滿足PM²＋PB²＋PC²＝35，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

Answer 1

（1）；（2）；（3）P（2，－2）或（2，）

解析試題分析：（1）根據(jù)拋物線頂點(diǎn)為M（2，－1），可設(shè)拋物線的解析式為線，再把點(diǎn)B（3，0）代入即可求得結(jié)果；
（2）先求得拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，可得∠ABC=45°，過(guò)點(diǎn)B作BN⊥x軸交CD于點(diǎn)N，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得∠ACB=∠NCB，再結(jié)合公共邊CB可得△ACB≌△NCB，即可得到BN=BA，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，即可得到點(diǎn)N的坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法即可求得結(jié)果；
（3）設(shè)P（2，p），先根據(jù)勾股定理表示出PM、PB、PC，再根據(jù)PM²＋PB²＋PC²＝35即可得到關(guān)于p的方程，解出即可.
（1）∵拋物線y＝ax²＋bx＋3的頂點(diǎn)為M（2，－1），
∴設(shè)拋物線的解析式為線
∵點(diǎn)B（3，0）在拋物線上，∴，解得
∴該拋物線的解析式為，即；
（2）在中，令x=0，得
∴C（0，3）
∴OB=OC=3 
∴∠ABC=45
過(guò)點(diǎn)B作BN⊥x軸交CD于點(diǎn)N，

則∠ABC=∠NBC=45°
∵直線CD和直線CA關(guān)于直線BC對(duì)稱，
∴∠ACB=∠NCB
又∵CB=CB，
∴△ACB≌△NCB
∴BN=BA
∵A，B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸x=2對(duì)稱，B（3，0），
∴A（1，0）
∴BN=BA=2 
∴N（3，2）
設(shè)直線CD的解析式為，
∵C（0，3），N（3，2）在直線CD上，
∴，解得
∴直線CD的解析式為；
（3）設(shè)P（2，p）
∵M(jìn)（2，－1），B（3，0），C（0，3）
∴


∵PM²＋PB²＋PC²＝35
∴
整理得
解得
∴P（2，－2）或（2，）.
考點(diǎn)：二次函數(shù)的綜合題
點(diǎn)評(píng)：解答本題的關(guān)鍵是注意當(dāng)拋物線中出現(xiàn)了頂點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，拋物線的解析式一般設(shè)為頂點(diǎn)式.