Question

如圖，二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象與x軸交于A(yíng)（3，0），B（-1，0），與y軸交于點(diǎn)C．若點(diǎn)P，Q同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，都以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度分別沿AB，AC邊運(yùn)動(dòng)，其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．
（1）求該二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q停止運(yùn)動(dòng)，這時(shí)，在x軸上是否存在點(diǎn)E，使得以A，E，Q為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出E點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）當(dāng)P，Q運(yùn)動(dòng)到t秒時(shí)，△APQ沿PQ翻折，點(diǎn)A恰好落在拋物線(xiàn)上D點(diǎn)處，請(qǐng)判定此時(shí)四邊形APDQ的形狀，并求出D點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）根據(jù)韋達(dá)定理即可求得a、b的值，即可解題；
（2）存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)E，存在2種情況：①∠AEQ'=90°；②∠AQ'E'=90°；分類(lèi)討論即可求得點(diǎn)E坐標(biāo)，即可解題；
（3）如圖，D點(diǎn)關(guān)于PQ與A點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，過(guò)點(diǎn)Q作，F(xiàn)Q⊥AP于F，根據(jù)FQ∥OC可得

AF

AO

=

FQ

OC

=

AQ

AC

，即可求得AF、FQ的值（用t表示），即可求得點(diǎn)Q坐標(biāo)（用t表示），根據(jù)DQ=AP即可求得點(diǎn)D坐標(biāo)（用t表示），再根據(jù)D在二次函數(shù)y=-x²-2x-3上，即可求得t的值，即可求得點(diǎn)D坐標(biāo)，即可解題．

解答：解：（1）∵二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象與x軸交于A(yíng)（3，0），B（-1，0），
∴x₁•x₂=

c

a

=c=-3，x₁+x₂=-

b

a

=-b=2，
∴b=-2，
∴該二次函數(shù)的解析式為y=x²-2x-3，
當(dāng)x=0時(shí)，y=-3，
∴C（0，-3）；
（2）存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)E，存在3種情況：

①∠AEQ'=90°，
∵AQ'=AB=4，
∴AE=2

2

，
∴OE=4-2

2

，
∴點(diǎn)E坐標(biāo)（4-2

2

，0）；
②∠AQ'E'=90°，
此時(shí)AE=EE'，
∴AE'=4

2

，
∴OE=AE'-OA=4

2

-4，
∴點(diǎn)E'坐標(biāo)（4-4

2

，0）；
③∵AB=AQ，
∴點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，△AEQ為等腰三角形；
綜上所述：點(diǎn)E坐標(biāo)為（4-2

2

，0）、（4-4

2

，0）或（-1，0）；
（3）四邊形APDQ為菱形；
理由：如圖，D點(diǎn)關(guān)于PQ與A點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，過(guò)點(diǎn)Q作，F(xiàn)Q⊥AP于F，

∵AQ=PD，AP=DQ，
∴四邊形APDQ為平行四邊形，
∵AP=AQ，
∴平行四邊形APDQ為菱形，且AP=AQ=t，
∵FQ∥OC，
∴

AF

AO

=

FQ

OC

=

AQ

AC

，
∴

AF

3

=

FQ

3

=

t

5

，
∴AF=

3

5

t，F(xiàn)Q=

3

5

t，
∴Q（3-

3

5

t，-

3

5

t），
∵DQ=AP=t，
∴D（3-

3

5

t-t，-

3

5

t），
∵D在二次函數(shù)y=-x²-2x-3上，
∴-

3

5

t=（3-

8

5

t）²-2（3-

8

5

t）-3，
∴t=

15

4

，或t=0（與A重合，舍去），
∴D（-3，-

9

4

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線(xiàn)解析式的求解，考查了拋物線(xiàn)和直線(xiàn)交點(diǎn)的求解，考查了菱形的判定和菱形各邊長(zhǎng)相等的性質(zhì)，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，考查了平分線(xiàn)分線(xiàn)段成比例的性質(zhì)，本題中用t表示點(diǎn)D的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．