Question

12．如圖，已知直線l：y₁=kx+b分別與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)，與雙曲線y₂=$\frac{a}{x}$（a≠0，x＞0）分別交于D、E兩點(diǎn)．若點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，1），點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，4）
（1）分別直接寫出直線l與雙曲線的解析式：y₁=-x+5，y₂=$\frac{4}{x}$；
（2）若將直線l向下平移m（m＞0）個(gè)單位，當(dāng)m為何值時(shí)，直線l與雙曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)；
（3）當(dāng)y₁＜y₂時(shí)，直接寫出x的取值范圍0＜x＜1或x＞4．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直線l：y₁=kx+b與雙曲線y₂=$\frac{a}{x}$（a≠0，x＞0）分別交于D、E兩點(diǎn)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，1），點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，4），可以分別求得直線l與雙曲線的解析式；
（2）根據(jù)題意可以列出相應(yīng)的方程組，然后根據(jù)直線l與雙曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，可知聯(lián)立后的方程組中組成的二元一次方程中△=0，注意交點(diǎn)在第一象限；
（3）根據(jù)函數(shù)圖象可以得到當(dāng)y₁＜y₂時(shí)，x的取值范圍．

解答 解：（1）∵直線l：y₁=kx+b與雙曲線y₂=$\frac{a}{x}$（a≠0，x＞0）分別交于D、E兩點(diǎn)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，1），點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，4），
∴$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=1}\\{k+b=4}\end{array}\right.$，$4=\frac{a}{1}$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=5}\end{array}\right.$，a=4，
即直線l：y₁=-x+5，雙曲線y₂=$\frac{4}{x}$，
故答案為：y₁=-x+5，y₂=$\frac{4}{x}$；
（2）由題意可得，
$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{2}=\frac{4}{x}}\\{{y}_{1}=-x+5-m}\end{array}\right.$
化簡，得
x²+（m-5）x+4=0，
∵直線l與雙曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，
∴（m-5）²-4×1×4=0，
解得，m=1或m=9
∵m=1時(shí)，直線與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)在第一象限，當(dāng)m=9時(shí)，直線與雙曲的一個(gè)交點(diǎn)在第三象限，雙曲線y₂=$\frac{a}{x}$（a≠0，x＞0）
∴m=1，
即當(dāng)m為1時(shí)，直線l與雙曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)；
（3）由圖象可知，當(dāng)0＜x＜1或x＞4時(shí)，y₁＜y₂，
故答案為：0＜x＜1或x＞4．

點(diǎn)評 本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．