Question

已知關于x的一元二次方程x²-（2k+1）x+k²+k=0．
（1）求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）若周長為16的等腰△ABC的兩邊AB，AC的長是方程的兩個實數(shù)根，求k的值．

Answer 1

考點：根的判別式,等腰三角形的性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）先計算判別式的值得△=1，然后根據(jù)判別式的意義得到結論；
（2）先利用因式分解法解方程得到x₁=k，x₂=k+1，不妨設AB=k，AC=k+1，則根據(jù)三角形周長得到BC=15-2k，然后分類討論：當AB=BC，即k=15-2k；當AC=BC，即k+1=15-2k，再解關于k的一元一次方程即可．

解答：（1）證明：∵△=（2k+1）²-4（k²+k）
=1＞0，
∴方程有兩個不相等的實數(shù)根；

（2）解：∵原方程化為（x-k）（x-k-1）=0，
∴x₁=k，x₂=k+1，
不妨設AB=k，AC=k+1，
∴BC=16-AB-AC=15-2k，
當AB=BC，即k=15-2k，解得k=5；
當AC=BC，即k+1=15-2k，即得k=

14

3

，
∴k的值為5或

14

3

．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當△＜0，方程沒有實數(shù)根．也考查了等腰三角形的性質(zhì)．