Question

13．如圖，在直角坐標系xOy中，直線y=-$\frac{3}{4}$x+6與x軸，y軸分別交于A、B兩點，以AB為邊在第一象限內作矩形ABCD，使AD=5
（1）求點A，點B的坐標；
（2）過點D作DH⊥x軸，垂足為H，說明：△AOB～△DHA；
（3）求點D的坐標．

Answer 1

分析 （1）分別令直線y=-$\frac{3}{4}$x+6中x=0、y=0求出與之對應的y、x值，由此即可得出點B、A的坐標；
（2）根據(jù)DH⊥x軸，y軸⊥x軸即可得出∠AHD=∠BOA=90°，再根據(jù)矩形的性質結合角的運算得出∠OBA=∠HAD，由此即可證得△AOB～△DHA；
（3）根據(jù)相似三角形的性質即可得出$\frac{OB}{HA}=\frac{OA}{HD}=\frac{6}{8}$，再結合勾股定理以及AD=5即可求出HA、HD的長度，由此即可得出點D的坐標．

解答 解：（1）令y=-$\frac{3}{4}$x+6中x=0，則y=6，
∴B（0，6）；
令y=-$\frac{3}{4}$x+6中y=0，則x=8，
∴A（8，0）．
（2）∵DH⊥x軸，y軸⊥x軸，
∴∠AHD=∠BOA=90°．
∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠BAD=90°，
∴∠OAB+∠HAD=90°，
又∵∠OBA+∠OAB=90°，
∴∠OBA=∠HAD，
∴△AOB～△DHA．
（3）∵A（8，0），B（0，6），
∴OA=8，OB=6，
∵△AOB～△DHA，
∴$\frac{OB}{HA}=\frac{OA}{HD}=\frac{6}{8}$，
∴$\frac{HA}{HD}=\frac{3}{4}$．
∵AD=5，且AD²=HA²+HD²，
∴HA=3，HD=4，
∴OH=OA+AH=11，
∴點D的坐標為（11，4）．

點評 本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征、相似三角形的判定與性質以及勾股定理，解題的關鍵是：（1）根據(jù)一次函數(shù)圖象上點的坐標特征求出點A、B的坐標；（2）找出∠AHD=∠BOA=90°、∠OBA=∠HAD；（3）求出HA、HD的長度．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)相似三角形的性質找出邊與邊之間的關系是關鍵．