Question

7．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（a，0），（0，b），其中a，b滿足$\sqrt{a-2b-18}$+|2a-5b-30|=0．將點(diǎn)B向右平移26個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)C，如圖①所示．
（1）求點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)M，N分別為線段BC，OA上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M從點(diǎn)C向左以1.5個(gè)單位長(zhǎng)度/秒運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)N從點(diǎn)O向點(diǎn)A以2個(gè)單位長(zhǎng)度/秒運(yùn)動(dòng)，如圖②所示，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t＜15）．
①當(dāng)CM＜AN時(shí)，求t的取值范圍；
②是否存在一段時(shí)間，使得S_{四邊形MNOB}＞2S_{四邊形MNAC}？若存在，求出t的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由條件可求得a、b的值，則可求得A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再由平移可求得C點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）①用t可分別表示出CM和AN，由條件可得到關(guān)于t不等式，可求得t的取值范圍；②用t表示出四邊形MNOB和四邊形MNAC的面積，由條件得到t的不等式，再結(jié)合t的取值范圍進(jìn)行判定即可．

解答 解：
（1）∵$\sqrt{a-2b-18}$+|2a-5b-30=0，且$\sqrt{a-2b-18}$≥0，|2a-5b-30|≥0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-2b-18=0}\\{2a-5b-30=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=30}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴A（30，0），B（0，6），
又∵點(diǎn)C是由點(diǎn)B向右平移26個(gè)單位長(zhǎng)度得到，
∴C（26，6）；
（2）①由（1）可知：OA=30，
∵點(diǎn)M從點(diǎn)C向右以1.5個(gè)單位長(zhǎng)度/秒運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N從點(diǎn)O向點(diǎn)A以2個(gè)單位長(zhǎng)度/秒運(yùn)動(dòng)，
∴CM=1.5t，ON=2t，
∴AN=30-2t
∵CM＜AN，
∴1.5t＜30-2t，解得t＜$\frac{60}{7}$，而0＜t＜15，
∴0＜t＜$\frac{60}{7}$；
②由題意可知CM=1.5t，ON=2t，
∴BM=BC-CM=26-1.5t，AN=30-2t，
又B（0，6），
∴OB=6，
∴S_{四邊形MNOB}=$\frac{1}{2}$OB（BM+ON）=3（26-1.5t+2t）=3（26+0.5t），S_{四邊形MNAC}=$\frac{1}{2}$OB（AN+CM）=3（30-2t+1.5t）=3（30-0.5t），
當(dāng)S_{四邊形MNOB}＞2S_{四邊形MNAC}時(shí)，則有3（26+0.5t）＞2×3（30-0.5t），解得t＞$\frac{68}{3}$＞15，
∴不存在使S_{四邊形MNOB}＞2S_{四邊形MNAC}的時(shí)間段．

點(diǎn)評(píng) 本題為動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題，涉及知識(shí)點(diǎn)有非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、平移的性質(zhì)、梯形的面積等．在（1）中求得a、b的值是解題的關(guān)鍵，在（2）中用t表示出相應(yīng)線段的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)相對(duì)較少，難度不大．